Сформулируй уравнение прямой вида ax+by+c=0, проходящей через точки, расположенные на одинаковом расстоянии от точек

Koko

28

Для решения данной задачи нам необходимо определить уравнение прямой вида \(ax+by+c=0\), проходящей через точки, которые расположены на одинаковом расстоянии от точек \(A(4;3)\) и \(B(7;10)\).

Шаг 1: Найдем координаты середины отрезка AB, так как точки лежащие на одинаковом расстоянии от точек A и B образуют прямую, перпендикулярную отрезку AB.
Используем формулу нахождения координат точки, делящей отрезок AB в отношении 1:1:
\[ M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}, \dfrac{y_A+y_B}{2}\right) \]

где \(x_A = 4\), \(y_A = 3\), \(x_B = 7\), \(y_B = 10\).

Вычислим координаты точки \(M\):
\[ M\left(\dfrac{4+7}{2}, \dfrac{3+10}{2}\right) = \left(\dfrac{11}{2}, \dfrac{13}{2}\right) = \left(5.5, 6.5\right) \]

Таким образом, середина отрезка AB имеет координаты \(M(5.5, 6.5)\).

Шаг 2: Найдем уравнение прямой, проходящей через точку \(M\) и перпендикулярной отрезку AB.
Для этого найдем угловой коэффициент прямой, проходящей через точки A и B:
\[ k_{AB} = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{10 - 3}{7 - 4} = \dfrac{7}{3} \]

Угловой коэффициент перпендикулярной прямой будет равен -3/7, так как произведение наклонов перпендикулярных прямых равно -1.
Теперь используем формулу для уравнения прямой:
\[ y - y_1 = k(x - x_1) \]

Подставим координаты точки M в уравнение прямой:
\[ y - 6.5 = -\dfrac{3}{7}(x - 5.5) \]

Умножим обе части на 7, чтобы избавиться от дроби:
\[ 7y - 45.5 = -3x + 16.5 \]

Перенесем все члены в левую часть уравнения:
\[ 3x + 7y - 62 = 0 \]

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки, расположенные на одинаковом расстоянии от точек A(4;3) и B(7;10), имеет вид:
\[ 3x + 7y - 62 = 0 \]