Сформулируйте два полинома третьей степени так, чтобы их сумма была полиномом первой степени, а разность - полиномом

Sofiya

54

Хорошо, давайте решим эту задачу. Чтобы сформулировать два полинома третьей степени, сумма которых будет полиномом первой степени, а разность - полиномом третьей степени, нам понадобится использовать заданную информацию и некоторые алгебраические операции.

Пусть наш первый полином \(P(x)\) будет третьей степени и иметь вид:
\[P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\]

Теперь посмотрим на разность двух полиномов. Пусть разность будет полиномом третьей степени и иметь вид:
\[Q(x) = ex^3 + fx^2 + gx + h\]

Нам также известно, что сумма полиномов должна быть полиномом первой степени. Это означает, что коэффициент при \(x^3\) равен 0, и полином имеет вид:
\[R(x) = ix + j\]

Теперь у нас есть три уравнения для определения коэффициентов:
\[P(x) + Q(x) = R(x)\]
\[ax^3 + bx^2 + cx + d + ex^3 + fx^2 + gx + h = ix + j\]
\[(a+e)x^3 + (b+f)x^2 + (c+g)x + (d+h) = ix + j\]

Из этого уравнения мы можем сделать несколько наблюдений:
1. Коэффициенты при одинаковых степенях x должны равняться друг другу. Это дает нам первые три уравнения:
\[a+e = 0\]
\[b+f = 0\]
\[c+g = i\]

2. Коэффициенты при \(x^3\) и свободный член (без x) должны также равняться друг другу:
\[d+h = j\]

Теперь у нас есть система из четырех уравнений, которую мы можем решить, чтобы найти значения коэффициентов \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\), \(g\), \(h\), \(i\) и \(j\).

Я оставлю решение этой системы уравнений в качестве практического упражнения для вас. Если вы найдете значения коэффициентов, подставьте их в наши исходные полиномы \(P(x)\) и \(Q(x)\) и проверьте, что выполняются условия задачи: сумма будет полиномом первой степени, а разность - полиномом третьей степени.