Симметричны ли точки m(a; b) и p(b; a) относительно прямой: а) y=x+1 б) y=x в) y=2? Вопрос для 10 класса

Цикада

7

Для решения данной задачи, нам необходимо определить, являются ли точки m(a; b) и p(b; a) симметричными относительно заданных прямых.

а) Прямая y=x+1:
Для проверки симметричности точек m(a; b) и p(b; a) относительно данной прямой, необходимо убедиться, что отрезок, соединяющий эти точки, перпендикулярен прямой y=x+1 и делится пополам прямой y=x+1.

Представим отрезок mp на графике:
\[
\begin{align*}
\text{точка m:} \quad (a, b) \\
\text{точка p:} \quad (b, a)
\end{align*}
\]

Таким образом, координаты точки mp будут:
\[
\begin{align*}
x_{mp} = \frac{a+b}{2} \\
y_{mp} = \frac{b+a}{2} \\
\end{align*}
\]

Сравним значение \(y_{mp}\) с уравнением прямой y=x+1:
\[
\frac{b+a}{2} = \frac{a+b}{2} + 1
\]

Находим общий знаменатель и складываем числители:
\[
b + a = a + b + 2
\]

Как можно видеть, полученное равенство верно для всех значений a и b. Это говорит нам о том, что точки m(a; b) и p(b; a) симметричны относительно прямой y=x+1.

б) Прямая y=x:
Для данной прямой, аналогично первому случаю, необходимо проверить, перпендикулярность и симметричность точек m(a; b) и p(b; a). Проверка перпендикулярности проводится путем проверки равенства отношения коэффициентов наклона прямой на основе двух точек mp и y=x.

Уравнение прямой, проходящей через mp и параллельной y=x, можно записать как:
\[
y = -x + c
\]
где c - произвольная константа.

Теперь подставим координаты точки mp в уравнение и решим полученное уравнение для c:
\[
\frac{b+a}{2} = -\frac{a+b}{2} + c
\]
\[
b+a = -a-b + 2c
\]

Снова сложим числители и получим:
\[
2a = 2c
\]
\[
a = c
\]

Таким образом, для всех значений a и b, полученное уравнение верно. Это означает, что точки m(a; b) и p(b; a) симметричны относительно прямой y=x.

в) Прямая y=2:
В данном случае, для проверки симметричности точек m(a; b) и p(b; a) относительно прямой y=2, достаточно сравнить y-координаты этих точек.

Точка m(a; b) имеет y-координату b, а точка p(b; a) имеет y-координату a. Таким образом, чтобы точки m и p были симметричными относительно прямой y=2, необходимо, чтобы b=a.

Вывод:

а) Точки m(a; b) и p(b; a) симметричны относительно прямой y=x+1.
б) Точки m(a; b) и p(b; a) симметричны относительно прямой y=x.
в) Точки m(a; b) и p(b; a) симметричны относительно прямой y=2.