Каков объём первого конуса, если радиус его основания в 6 раз больше радиуса основания второго конуса, а его высота

Grigoriy_6922

66

Для решения данной задачи, нам необходимо знать формулу для вычисления объема конуса. Объем конуса вычисляется по формуле:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]

Где:
\(V\) - объем конуса,
\(\pi\) - число пи (приближенно равное 3.14),
\(r\) - радиус основания конуса,
\(h\) - высота конуса.

У нас есть два конуса, и мы знаем, что радиус основания первого конуса в 6 раз больше радиуса основания второго конуса (\(r_1 = 6r_2\)), а высота первого конуса в 4 раза меньше высоты второго конуса (\(h_1 = \frac{1}{4}h_2\)).

Мы знаем, что объем второго конуса уже известен, поэтому мы можем обозначить его как \(V_2\).

Теперь мы можем рассчитать объем первого конуса.

Для начала, выразим \(r_2\) и \(h_2\) через \(r_1\) и \(h_1\).

Из условия задачи, \(r_1 = 6r_2\). Подставим это значение в формулу для вычисления объема:

\[V_2 = \frac{1}{3} \pi (6r_2)^2 h_2\]

Упростим выражение:

\[V_2 = \frac{1}{3} \pi 36r_2^2 h_2\]
\[V_2 = 12 \pi r_2^2 h_2\]

Теперь выразим \(h_2\) через \(h_1\). Из условия задачи, \(h_1 = \frac{1}{4}h_2\). Подставим это значение в формулу:

\[V_2 = 12 \pi r_2^2 \left(4h_1\right)\]
\[V_2 = 48 \pi r_2^2 h_1\]

Таким образом, мы имеем формулу для вычисления объема второго конуса через \(r_2\) и \(h_1\).

Теперь выразим \(r_2\) через \(r_1\). Из условия задачи, \(r_1 = 6r_2\). Разделим обе части равенства на 6:

\(\frac{r_1}{6} = r_2\)

Теперь мы можем выразить \(r_2\) через \(r_1\).

Подставим полученные значения в формулу для объема второго конуса:

\[V_2 = 48 \pi \left(\frac{r_1}{6}\right)^2 h_1\]
\[V_2 = \frac{8}{3} \pi r_1^2 h_1\]

Осталось найти объем первого конуса.

Используя формулу для вычисления объема первого конуса, получаем:

\[V_1 = \frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1\]

Теперь можно выразить объем первого конуса через объем второго конуса:

\[V_1 = \frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8} \cdot V_2\]
\[V_1 = \frac{1}{8} \cdot V_2\]
\[V_1 = \frac{V_2}{8}\]

Итак, объем первого конуса равен \(\frac{V_2}{8}\), если объем второго конуса уже известен.