Скільки гербів потрібно для обміну між дванадцятьма футбольними командами?

Kobra

26

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать принцип комбинаторики - правило умножения. Закончим? Правило умножения гласит, что если у нас есть $m$ способов выполнить одно действие и $n$ способов выполнить другое действие, то всего у нас будет $m\times n$ способов выполнить оба этих действия.

В данной задаче у нас есть 12 команд и каждая из них должна обменяться гербами с остальными командами. Для того чтобы найти общее количество обменов гербами, мы должны узнать, сколько всего пар команд может быть.

Для этого применяем принцип комбинаторики - сочетания без повторений. По определению, сочетание без повторений из $n$ элементов по $k$ элементов обозначается как $C(n,k)$ или также как $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$. Формула для вычисления сочетания без повторений задана следующим образом:

$$C(n,k)=\frac{n!}{k!\times (n-k)!}$$

Где $n!$ обозначает факториал числа $n$, что означает произведение всех положительных целых чисел от 1 до $n$.

В нашей задаче количество команд $n=12$ и мы должны выбрать 2 команды для обмена гербами ($k=2$). Подставляя значения в формулу сочетания без повторений, получаем:

$$C(12,2)=\frac{12!}{2!\times (12-2)!}=\frac{12!}{2!\times 10!}$$

Теперь нам нужно вычислить значение факториала числа 12. Факториал 12 (обозначается как 12!) обозначает произведение всех положительных целых чисел от 1 до 12:

$$12!=1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7\times 8\times 9\times 10\times 11\times 12$$

Упрощая это выражение, получаем:

$$12!=479,001,600$$

Сделаем то же самое для $2!$ и $10!$:

$$2!=1\times 2=2$$

$$10!=3,628,800$$

Теперь мы можем подставить все значения в формулу:

$$C(12,2)=\frac{12!}{2!\times (12-2)!}=\frac{479,001,600}{2\times 3,628,800}$$

Выполняя вычисления, получаем:

$$C(12,2)=66$$

Итак, для обмена гербами между 12 командами потребуется 66 обменов.

Важно отметить, что это лишь один из подходов к решению задачи, и существуют и другие способы.