Скільки гербів потрібно для обміну між дванадцятьма футбольними командами?

Kobra

26

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать принцип комбинаторики - правило умножения. Закончим? Правило умножения гласит, что если у нас есть \( m \) способов выполнить одно действие и \( n \) способов выполнить другое действие, то всего у нас будет \( m \times n \) способов выполнить оба этих действия.

В данной задаче у нас есть 12 команд и каждая из них должна обменяться гербами с остальными командами. Для того чтобы найти общее количество обменов гербами, мы должны узнать, сколько всего пар команд может быть.

Для этого применяем принцип комбинаторики - сочетания без повторений. По определению, сочетание без повторений из \( n \) элементов по \( k \) элементов обозначается как \( C(n,k) \) или также как \( \binom{n}{k} \). Формула для вычисления сочетания без повторений задана следующим образом:

\[
C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \times (n-k)!}}
\]

Где \( n! \) обозначает факториал числа \( n \), что означает произведение всех положительных целых чисел от 1 до \( n \).

В нашей задаче количество команд \( n = 12 \) и мы должны выбрать 2 команды для обмена гербами (\( k = 2 \)). Подставляя значения в формулу сочетания без повторений, получаем:

\[
C(12, 2) = \frac{{12!}}{{2! \times (12-2)!}} = \frac{{12!}}{{2! \times 10!}}
\]

Теперь нам нужно вычислить значение факториала числа 12. Факториал 12 (обозначается как 12!) обозначает произведение всех положительных целых чисел от 1 до 12:

\[
12! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 \times 10 \times 11 \times 12
\]

Упрощая это выражение, получаем:

\[
12! = 479,001,600
\]

Сделаем то же самое для \( 2! \) и \( 10! \):

\[
2! = 1 \times 2 = 2
\]

\[
10! = 3,628,800
\]

Теперь мы можем подставить все значения в формулу:

\[
C(12, 2) = \frac{{12!}}{{2! \times (12-2)!}} = \frac{{479,001,600}}{{2 \times 3,628,800}}
\]

Выполняя вычисления, получаем:

\[
C(12, 2) = 66
\]

Итак, для обмена гербами между 12 командами потребуется 66 обменов.

Важно отметить, что это лишь один из подходов к решению задачи, и существуют и другие способы.