Какова сумма первых 1000 элементов последовательности, где элементы представляют собой сумму числовых эквивалентов цифр

Морской_Путник

54

Для решения данной задачи нам необходимо понять, какие числовые эквиваленты имеют цифры чисел n в системе счисления с основанием \(k\).

В системе счисления с основанием \(k\), каждая цифра числа представляет собой число от 0 до \(k-1\). То есть, если \(n\) представляет число в этой системе счисления, то последовательность элементов будет состоять из сумм цифр каждого числа \(n\), где каждая цифра будет заменена её числовым эквивалентом.

Например, рассмотрим число 123 в двоичной системе счисления (основание 2). Цифры этого числа - это 1, 2 и 3. Числовые эквиваленты этих цифр равны 1, 2 и 3 соответственно. Поэтому, элементы последовательности будут следующими: 1, 2, 3.

Теперь, когда мы понимаем, какие элементы суммы мы формируем, мы можем приступить к нахождению суммы первых 1000 элементов данной последовательности.

Для этого сформируем саму последовательность, взяв первые 1000 чисел и сложив все их элементы. Мы знаем, что каждая цифра числа \(n\) будет иметь числовой эквивалент от 0 до \(k-1\). Таким образом, число \(n\) будет иметь не более \(d\) цифр в системе счисления с основанием \(k\), где \(d\) - это количество цифр в числе \(n\).

Так как мы рассматриваем числа из десятичной системы счисления (основание 10) и из 1000 чисел у нас может быть не более 4 цифр, возьмем \(k = 10\) и \(d = 4\). То есть, наша последовательность будет состоять из всех чисел от 1 до 1000.

Теперь, чтобы найти сумму всех элементов последовательности, мы просто сложим все числа от 1 до 1000:

\[S = 1 + 2 + 3 + \ldots + 1000\]

Мы можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии:

\[S = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}\]

где \(a_1\) - первый член прогрессии (1), \(a_n\) - последний член прогрессии (1000), \(n\) - количество членов прогрессии (1000).

Подставляя значения в формулу, получаем:

\[S = \frac{1000(1 + 1000)}{2} = \frac{1000 \cdot 1001}{2} = 500 \cdot 1001 = 500500\]

Таким образом, сумма первых 1000 элементов последовательности равна 500500.