Сколько 9-значных чисел можно составить, используя цифры 2, 4, 6 и 8, если цифра 2 должна встречаться 3 раза, а цифра

Yangol

31

Чтобы решить данную задачу, нам нужно определить, сколько вариантов есть для размещения цифр 2, 4, 6 и 8 в 9-значном числе.

Для начала определим, сколько вариантов есть для размещения цифры 2. Поскольку цифра 2 должна встречаться 3 раза, нам нужно выбрать 3 позиции из 9 возможных позиций в 9-значном числе. Мы можем сделать это, используя сочетания без повторений. Формула для вычисления количества сочетаний без повторений заданного размера k из n возможных элементов выглядит следующим образом:

\[C(n,k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\]

В нашем случае n = 9 (общее количество позиций в числе) и k = 3 (количество позиций, которые должны быть заполнены цифрой 2). Подставим значения в формулу:

\[C(9,3) = \frac{{9!}}{{3!(9-3)!}} = \frac{{9!}}{{3!6!}} = \frac{{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}}{{3! \cdot 6!}} = \frac{{9 \cdot 8 \cdot 7}}{{3!}} = \frac{{9 \cdot 8 \cdot 7}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84\]

Таким образом, у нас 84 варианта размещения цифры 2 в 9-значном числе.

Аналогично, определим, сколько вариантов есть для размещения цифры 6. Цифра 6 должна встречаться 2 раза, поэтому нам нужно выбрать 2 позиции из 6 оставшихся возможных позиций (так как 3 позиции уже заняты цифрой 2). С использованием той же формулы, получаем:

\[C(6,2) = \frac{{6!}}{{2!(6-2)!}} = \frac{{6!}}{{2!4!}} = \frac{{6 \cdot 5 \cdot 4!}}{{2! \cdot 4!}} = \frac{{6 \cdot 5}}{{2 \cdot 1}} = 15\]

Таким образом, у нас 15 вариантов размещения цифры 6 в 9-значном числе.

Теперь нам нужно определить, сколько вариантов есть для размещения оставшихся двух цифр: 4 и 8. Они займут оставшиеся позиции, которых теперь осталось 4.

Так как осталось только две цифры (4 и 8), то каждая цифра может быть использована только один раз.

Таким образом, у нас есть только один вариант размещения цифр 4 и 8 в 9-значном числе.

Осталось перемножить все результаты, чтобы получить общее количество вариантов:

Общее количество вариантов = количество вариантов размещения цифры 2 * количество вариантов размещения цифры 6 * количество вариантов размещения цифр 4 и 8 = 84 * 15 * 1 = 1260.

Таким образом, мы можем составить 1260 различных 9-значных чисел, используя цифры 2, 4, 6 и 8, при условии, что цифра 2 встречается 3 раза, а цифра 6 - 2 раза.