Сколько целых чисел между 0 и 999 не являются кратными ни 2, ни 3, ни 5

Chaynik

1

Чтобы найти количество целых чисел между 0 и 999, которые не являются кратными ни 2, ни 3, ни 5, мы можем воспользоваться принципом включения-исключения.

Сначала, мы найдем количество чисел, кратных 2. Чтобы это сделать, нужно разделить 999 на 2 и округлить в меньшую сторону. Получим:

\[ \left\lfloor \frac{999}{2} \right\rfloor = 499 \]

То есть, существует 499 чисел между 0 и 999, которые кратны 2.

Затем, найдем количество чисел, кратных 3. Повторим тот же процесс:

\[ \left\lfloor \frac{999}{3} \right\rfloor = 333 \]

То есть, есть 333 числа, кратные 3.

Далее, найдем количество чисел, кратных 5:

\[ \left\lfloor \frac{999}{5} \right\rfloor = 199 \]

То есть, существует 199 чисел, кратных 5.

Однако, если мы просто сложим эти числа, мы посчитаем числа, кратные одновременно 2 и 3 (6), 2 и 5 (10), и 3 и 5 (15) дважды. Чтобы устранить эту проблему, мы должны вычесть количество чисел, кратных одновременно 2 и 3, чисел кратных одновременно 2 и 5, и чисел кратных одновременно 3 и 5.

Теперь найдем количество чисел, кратных одновременно 2 и 3. Для этого, разделим 999 на наименьшее общее кратное (НОК) чисел 2 и 3, то есть 6:

\[ \left\lfloor \frac{999}{6} \right\rfloor = 166 \]

То есть, есть 166 чисел, кратных одновременно 2 и 3.

Проделаем то же самое для чисел, кратных одновременно 2 и 5 (НОК - 10):

\[ \left\lfloor \frac{999}{10} \right\rfloor = 99 \]

То есть, есть 99 чисел, кратных одновременно 2 и 5.

Наконец, посчитаем количество чисел, кратных одновременно 3 и 5 (НОК - 15):

\[ \left\lfloor \frac{999}{15} \right\rfloor = 66 \]

То есть, есть 66 чисел, кратных одновременно 3 и 5.

Теперь, с использованием принципа включения-исключения, мы можем найти общее количество чисел, не являющихся кратными ни 2, ни 3, ни 5:

\[ 999 - (499 + 333 + 199) + (166 + 99 + 66) = 168 \]

Таким образом, существует 168 целых чисел между 0 и 999, которые не являются кратными ни 2, ни 3, ни 5.