Сколько целых чисел находятся в области определения функции f (x) = √(2+x-x^2+4-x)/(x-1)?

Печенька_8575

46

Чтобы найти область определения функции \( f(x) = \frac{\sqrt{2+x-x^2+4-x}}{x-1} \), нам нужно определить, для каких значений аргумента \( x \) данный выражение имеет смысл.

1. Определение знаменателя:
В знаменателе функции есть выражение \( x-1 \). Чтобы предотвратить деление на ноль, необходимо исключить значение \( x = 1 \).

2. Определение радикала:
Внутри квадратного корня у нас есть выражение \( 2+x-x^2+4-x \). Чтобы избежать извлечения квадратного корня из отрицательного числа, необходимо найти значения \( x \), для которых данное выражение будет положительным.

Решим следующее неравенство: \( 2+x-x^2+4-x > 0 \).
Сначала приведем неравенство к квадратному уравнению: \( -x^2 + x + 6 > 0 \).
Теперь определим факторизацию этого квадратного уравнения: \( (x - 3)(-x - 2) > 0 \).

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов. Разделим ось \( x \) на три части:

- Оставим первую часть: \( x < -2 \)
В этом интервале ни один из множителей не будет равен нулю. Знаки множителей не меняются, поэтому получаем: \((-)(-)\) и знак неравенства остается ">": \((-)(-) > 0\).
- Оставим вторую часть: \( -2 < x < 3 \)
Теперь первый множитель равен нулю: \( (x - 3) = 0 \). Знаки множителей меняются, получаем: \((-)(+)\) и знак неравенства меняется на "<": \((-)(+) < 0\).
- Оставим третью часть: \( x > 3 \)
В этом интервале ни один из множителей не будет равен нулю. Знаки множителей не меняются, поэтому получаем: \((+)(+)\) и знак неравенства остается ">": \((+)(+) > 0\).

Таким образом, решив неравенство \( (x - 3)(-x - 2) > 0 \), мы получаем два интервала, в которых функция \( f(x) \) определена: \( x < -2 \) и \( x > 3 \).

3. Обобщение:
Объединяем интервалы, исключая значение \( x = 1 \), получаем область определения функции \( f(x) \): \( x \in (-\infty, -2) \cup (3, +\infty) \).

Таким образом, в заданной функции количество целых чисел, находящихся в области определения, зависит от выбранных интервалов, но точно можно сказать, что их бесконечно много.