А8. What is the denominator of the progression (bn) if b4 = 81, b2 = 9? а9. Determine the first term of the progression

Anzhela

8

а8. Чтобы найти знаменатель прогрессии (bn), мы можем использовать формулу общего члена арифметической прогрессии: \( b_n = a_1 + (n-1) \cdot d \), где \( a_1 \) - первый член прогрессии, \( d \) - разность прогрессии, \( n \) - номер члена.

У нас даны два члена прогрессии: \( b_4 = 81 \) и \( b_2 = 9 \).

Для нахождения знаменателя прогрессии, нам нужно найти номер члена, для которого дано значение. В данном случае, нам нужно найти номер члена, соответствующий \( b_4 \).

Мы можем использовать формулу для \( b_4 \):
\[ b_4 = a_1 + (4-1) \cdot d \]
Подставим известные значения:
\[ 81 = a_1 + 3 \cdot d \]

Также у нас есть информация о \( b_2 \):
\[ b_2 = a_1 + (2-1) \cdot d \]
\[ 9 = a_1 + d \]

Теперь у нас есть система уравнений:
\[ \begin{cases} 81 = a_1 + 3d \\ 9 = a_1 + d \end{cases} \]

Найдем разность \( d \) из второго уравнения:
\[ d = 9 - a_1 \]

Подставим эту разность в первое уравнение:
\[ 81 = a_1 + 3(9 - a_1) \]
\[ 81 = a_1 + 27 - 3a_1 \]
\[ 2a_1 = -108 \]
\[ a_1 = -54 \]

Теперь у нас есть значение первого члена прогрессии \( a_1 = -54 \).

Для нахождения знаменателя прогрессии, нам нужно найти номер члена, соответствующий \( b_4 \).
Для этого уравнения:
\[ 81 = -54 + 3 \cdot d \]
\[ 3d = 135 \]
\[ d = 45 \]

Таким образом, знаменатель прогрессии равен 45.

ответ: Знаменатель прогрессии (bn) равен 45.

а9. Чтобы найти первый член прогрессии (bn), нам нужно использовать формулу общего члена арифметической прогрессии: \( b_n = a_1 + (n-1) \cdot d \), где \( a_1 \) - первый член прогрессии, \( d \) - разность прогрессии, \( n \) - номер члена.

У нас даны два члена прогрессии: \( b_3 = 1 \) и \( b_4 = 2 \).

Мы можем использовать формулу для \( b_3 \):
\[ b_3 = a_1 + (3-1) \cdot d \]
\[ 1 = a_1 + 2d \]

Также у нас есть информация о \( b_4 \):
\[ b_4 = a_1 + (4-1) \cdot d \]
\[ 2 = a_1 + 3d \]

Таким образом, у нас есть система уравнений:
\[ \begin{cases} 1 = a_1 + 2d \\ 2 = a_1 + 3d \end{cases} \]

Найдем разность \( d \) из первого уравнения:
\[ d = 1 - a_1 \]

Подставим эту разность во второе уравнение:
\[ 2 = a_1 + 3(1 - a_1) \]
\[ 2 = a_1 + 3 - 3a_1 \]
\[ 2a_1 = 1 \]
\[ a_1 = \frac{1}{2} \]

Таким образом, первый член прогрессии (bn) равен \(\frac{1}{2}\).

Ответ: Первый член прогрессии (bn) равен \(\frac{1}{2}\).

а10. Чтобы найти сумму первых пяти членов прогрессии 3; 9; ... , мы можем использовать формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии: \( S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \), где \( S_n \) - сумма первых n членов, \( a_1 \) - первый член, \( a_n \) - последний член.

Первый член прогрессии \( a_1 = 3 \).
Чтобы найти последний член \( a_n \), нам нужно знать разность прогрессии \( d \).

Мы можем увидеть, что прогрессия увеличивается на \( d = 6 \) с каждым следующим членом:
\( 3 + 6 = 9 \),
\( 9 + 6 = 15 \),
\( 15 + 6 = 21 \),
и так далее.

Так как нам нужно найти сумму первых пяти членов, мы можем использовать формулу суммы первых n членов, где \( n = 5 \):
\[ S_5 = \frac{5}{2} \cdot (a_1 + a_5) \]
\[ S_5 = \frac{5}{2} \cdot (3 + (3 + 6 \cdot (5-1))) \]

Посчитаем значение в скобках:
\[ 3 + 6 \cdot (5-1) = 3 + 6 \cdot 4 = 3 + 24 = 27 \]

Теперь подставим это значение в формулу для суммы первых пяти членов:
\[ S_5 = \frac{5}{2} \cdot (3 + 27) \]
\[ S_5 = \frac{5}{2} \cdot 30 \]
\[ S_5 = \frac{5}{cross(2)} \cdot 15 \]
\[ S_5 = 5 \cdot 15 \]
\[ S_5 = 75 \]

Таким образом, сумма первых пяти членов прогрессии равна 75.

Ответ: Сумма первых пяти членов прогрессии равна 75.

b1. Для нахождения \( n \) арифметической прогрессии (an), мы можем использовать формулу общего члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \), где \( a_1 \) - первый член прогрессии, \( d \) - разность прогрессии, \( n \) - номер члена.

У нас даны значения \( a_3 = -2 \), \( d = 3 \) и \( a_n = 22 \).

Мы можем использовать формулу для \( a_3 \):
\[ a_3 = a_1 + (3-1) \cdot d \]
\[ -2 = a_1 + 2d \]

Мы также знаем, что \( a_n = 22 \):
\[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \]
\[ 22 = a_1 + (n-1) \cdot 3 \]

Используя систему уравнений для нахождения \( a_1 \) и \( n \):
\[ \begin{cases} -2 = a_1 + 2d \\ 22 = a_1 + (n-1) \cdot 3 \end{cases} \]

Из первого уравнения, находим \( a_1 \):
\[ a_1 = -2 - 2d \]
\[ a_1 = -2 - 2 \cdot 3 \]
\[ a_1 = -2 - 6 \]
\[ a_1 = -8 \]

Подставляем найденное значение \( a_1 \) во второе уравнение:
\[ 22 = -8 + (n-1) \cdot 3 \]
\[ 22 = -8 + 3n - 3 \]
\[ 3n - 11 = 22 \]
\[ 3n = 33 \]
\[ n = 11 \]

Таким образом, \( n = 11 \).

Ответ: Номер члена арифметической прогрессии (an) равен 11.

в2. Чтобы узнать, является ли число 384 членом прогрессии \( b_n = 3 \cdot 2^n \), нам нужно подставить значение 384 в формулу прогрессии и проверить, выполняется ли равенство.

У нас дана формула прогрессии \( b_n = 3 \cdot 2^n \) и число 384.

Подставим значение 384 в формулу прогрессии:
\[ 3 \cdot 2^n = 384 \]

Чтобы выразить \( n \), разделим обе стороны на 3:
\[ 2^n = \frac{384}{3} \]
\[ 2^n = 128 \]

Заметим, что \( 2^7 = 128 \). Подставим это значение в уравнение:
\[ 2^n = 2^7 \]
\[ n = 7 \]

Таким образом, число 384 является членом прогрессии \( b_n = 3 \cdot 2^n \) при \( n = 7 \).

Ответ: Да, число 384 является членом прогрессии \( b_n = 3 \cdot 2^n \) при \( n = 7 \).

в3. Для определения номеров членов арифметической прогрессии, которые имеют отрицательное значение, нужно знать первый член \( a_1 \) и разность \( d \) данной прогрессии.

У нас дана прогрессия со значениями: -13, -14, ...

Поскольку каждый следующий член прогрессии уменьшается на 1, разность прогрессии \( d = -1 \).

Чтобы найти номера отрицательных членов прогрессии, мы можем использовать формулу для \( a_n \):
\[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \]

Подставим значения данной прогрессии и \( a_1 = -13 \) в формулу:
\[ -14 = -13 + (n-1) \cdot (-1) \]

Для упрощения уравнения, раскроем скобки:
\[ -14 = -13 - n + 1 \]

Сократим подобные члены и упростим:
\[ -14 = -n - 12 \]
\[ n = -2 \]

Таким образом, отрицательные значения прогрессии соответствуют номерам отрицательных членов.

Ответ: Номера членов, которые имеют отрицательные значения в арифметической прогрессии -13, -14, ... соответствуют отрицательным значениям, начиная с \( n = -2 \).

в4. Для решения этой задачи нам потребуется информация о сумме второго и четвертого членов прогрессии и о седьмом члене прогрессии.

Пусть первый член прогрессии равен \( a_1 \) и разность прогрессии равна \( d \).

Сумма второго и четвертого членов прогрессии равна 14:
\[ a_2 + a_4 = 14 \]

Седьмой член прогрессии равен третьему члену плюс 12:
\[ a_7 = a_3 + 12 \]

Мы можем использовать формулу общего члена арифметической прогрессии, чтобы получить выражения для этих значений:

\[ a_2 = a_1 + d \]
\[ a_4 = a_1 + 3d \]
\[ a_3 = a_1 + 2d \]

Подставим эти значения в уравнения:
\[ (a_1 + d) + (a_1 + 3d) = 14 \]
\[ 2a_1 + 4d = 14 \]
\[ a_1 + 2d + 12 = a_1 + 2(2a_1+4d-12) + 12 \]
\[ 2a_1 + 4d = 2a_1 + 8d - 16 + 12 \]
\[ 4d - 8d = 16 - 12 \]
\[ -4d = 4 \]
\[ d = -1 \]

Теперь, найдя значение \( d \), мы можем найти первый член прогрессии:
\[ a_2 = a_1 - 1 \]
\[ a_1 = a_2 + 1 \]
\[ a_1 = (a_1 - 1) + 1 \]
\[ a_1 = a_1 \]

Заметим, что в уравнении прогрессии первый член \( a_1 \) сокращается и не мешает решению.

Таким образом, сумма второго и четвертого членов прогрессии равна 14.

Ответ: Сумма второго и четвертого членов прогрессии равна 14, а седьмой член прогрессии больше третьего на 12.