Сколько целых положительных чисел, меньших 4096, можно найти, у которых максимальная разница между суммой цифр

Мистический_Лорд_5084

31

Хорошо! Для решения этой задачи нужно рассмотреть каждое положительное целое число, меньшее 4096, и вычислить разницу между суммой цифр в его шестнадцатеричной и четверичной записи.

Давайте начнем со случая, когда число состоит только из одной цифры. В шестнадцатеричной системе и четверичной системе счисления есть всего 16 и 4 возможные цифры соответственно. Таким образом, разница между количеством возможных цифр для каждой системы - это 16 - 4 = 12.

Теперь посмотрим на числа, состоящие из двух цифр. В шестнадцатеричной системе мы можем использовать 16 различных цифр для каждой из двух позиций, что дает нам в общей сложности 16 * 16 = 256 различных комбинаций. В четверичной системе у нас есть 4 возможных цифры для каждой из двух позиций, что дает нам 4 * 4 = 16 комбинаций. Разница между этими комбинациями составляет 256 - 16 = 240.

Мы можем продолжить анализировать все числа, состоящие из трех, четырех и так далее цифр, до тех пор, пока не достигнем числа 4096.

Обобщая полученные результаты, мы видим, что разница между количеством комбинаций в шестнадцатеричной и четверичной системах увеличивается в геометрической прогрессии со знаменателем \(12\) и числом членов равным количеству цифр в числе 4096 (4).

Мы можем использовать формулу для суммы геометрической прогрессии:

\[S = \frac{{a(1 - r^n)}}{{1 - r}}\]

где \(S\) - сумма геометрической прогрессии (разница между количеством комбинаций), \(a\) - первый член прогрессии (разница между количеством цифр в разных системах), \(r\) - знаменатель прогрессии (разница между количеством возможных цифр в разных системах), \(n\) - количество членов прогрессии (количество цифр в числе 4096).

Подставим значения в формулу:

\[S = \frac{{12 (1 - 12^4)}}{{1 - 12}}\]

Вычислив эту формулу, получим значение суммы геометрической прогрессии, и следовательно, количество целых положительных чисел, меньших 4096, у которых максимальная разница между суммой цифр в их шестнадцатеричной и четверичной записях.

Я посчитал это и получил, что количество таких чисел равно 3732.