Сколько целых решений имеет неравенство sin(2x+pi/3) ≤ 1/2 на интервале (0; 2п)?

Чудесный_Мастер

38

Хорошо! Давайте рассмотрим задачу по шагам:

1. Начнем с неравенства: \(\sin(2x+\frac{\pi}{3}) \leq \frac{1}{2}\).

2. Для начала, найдем промежутки, на которых это неравенство выполняется. Мы знаем, что \(|\sin(\theta)| \leq 1\) для любого значения угла \(\theta\).

3. Рассмотрим неравенство \(\sin(2x+\frac{\pi}{3}) \leq 1/2\). Мы знаем, что \(|\sin(\theta)| \leq 1/2\) выполняется на интервалах \(-\frac{\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{\pi}{6} + 2\pi n\), где \(n\) - целое число.

4. Чтобы решить неравенство \(\sin(2x+\frac{\pi}{3}) \leq 1/2\), нам нужно найти интервалы, на которых \(\sin(2x+\frac{\pi}{3})\) находится в этих границах.

5. Начнем с интервала \(-\frac{\pi}{6} \leq 2x+\frac{\pi}{3} \leq \frac{\pi}{6} + 2\pi n\).

- Вычтем \(\frac{\pi}{3}\) из всех частей неравенства, получив \(-\frac{\pi}{2} \leq 2x \leq 0 + 2\pi n\).
- Разделим все части на 2, получая \(-\frac{\pi}{4} \leq x \leq \pi n\).

6. Теперь мы должны учесть ограничение интервала \((0; 2\pi)\).

- Из полученных интервалов, только \(-\frac{\pi}{4} \leq x \leq 0\) пересекается с интервалом \((0; 2\pi)\). Это происходит, когда \(n=0\).

7. Таким образом, исследуемый интервал будет иметь вид \(-\frac{\pi}{4} \leq x \leq 0\).

8. На данном интервале есть бесконечное множество решений. Подходящие решения могут быть записаны в виде \(x = \pi n\), где \(n\) - целое число, удовлетворяющее условию интервала.

Итак, неравенство \(\sin(2x+\frac{\pi}{3}) \leq \frac{1}{2}\) имеет бесконечное множество целых решений на интервале \(-\frac{\pi}{4} \leq x \leq 0\), которые можно записать в виде \(x = \pi n\), где \(n\) - целое число.