Сколько целых значений параметра а есть, при которых неравенство (х-а)/(х-6а) верно для всех значений х, таких

Стрекоза_3169

13

Чтобы решить эту задачу, нам нужно разобраться с условием неравенства и найти значения параметра "а", при которых оно будет выполняться для всех значений "х" от 2 до 3.

Исходное неравенство имеет вид \(\frac{{x - a}}{{x - 6a}}\).

Для начала, давайте рассмотрим допустимые значения "х". По условию задачи, \(2 \leq x \leq 3\).

Теперь представим себе, что "х" принимает различные значения в этом диапазоне (от 2 до 3) и проанализируем, при каких значениях "а" неравенство будет верно для каждого значения "х".

Давайте рассмотрим значения "х" на границах диапазона:

1. При \(x = 2\):
Заменяя в исходном неравенстве "х" на 2, получаем \(\frac{{2 - a}}{{2 - 6a}}\).

2. При \(x = 3\):
Заменяя в исходном неравенстве "х" на 3, получаем \(\frac{{3 - a}}{{3 - 6a}}\).

Теперь нам нужно убедиться, что неравенство выполняется при любом значении "х" в заданном диапазоне. Для этого нам нужно убедиться, что значения числителя и знаменателя имеют одинаковый знак, чтобы не было деления на ноль.

1. При \(x = 2\):
Если значение числителя \((2 - a)\) и знаменателя \((2 - 6a)\) имеют одинаковый знак, то неравенство верно при \(x = 2\).
Если числитель положителен и знаменатель положителен, то \((2 - a > 0)\) и \((2 - 6a > 0)\). Решая эти двойные неравенства, получаем:
\(\begin{align*}
2 - a &> 0\\
2 - 6a &> 0\\
\end{align*}\)
Следовательно, \(a < 2\) и \(a < \frac{1}{3}\).

Если числитель отрицателен и знаменатель отрицателен, то \((2 - a < 0)\) и \((2 - 6a < 0)\). Решая эти двойные неравенства, получаем:
\(\begin{align*}
2 - a &< 0\\
2 - 6a &< 0\\
\end{align*}\)
Следовательно, \(a > 2\) и \(a > \frac{1}{3}\).

2. При \(x = 3\):
Если значение числителя \((3 - a)\) и знаменателя \((3 - 6a)\) имеют одинаковый знак, то неравенство верно при \(x = 3\).
Если числитель положителен и знаменатель положителен, то \((3 - a > 0)\) и \((3 - 6a > 0)\). Решая эти двойные неравенства, получаем:
\(\begin{align*}
3 - a &> 0\\
3 - 6a &> 0\\
\end{align*}\)
Следовательно, \(a < 3\) и \(a < \frac{1}{6}\).

Если числитель отрицателен и знаменатель отрицателен, то \((3 - a < 0)\) и \((3 - 6a < 0)\). Решая эти двойные неравенства, получаем:
\(\begin{align*}
3 - a &< 0\\
3 - 6a &< 0\\
\end{align*}\)
Следовательно, \(a > 3\) и \(a > \frac{1}{6}\).

Итак, чтобы неравенство \(\frac{{x - a}}{{x - 6a}}\) выполнялось для всех значений "х" в диапазоне от 2 до 3, значение параметра "а" должно удовлетворять следующим условиям:

\(\frac{1}{3} < a < \frac{1}{6}\).

Таким образом, в данной задаче существуют бесконечное количество целых значений параметра "а", при которых неравенство верно для всех значений "х" от 2 до 3. Возможные значения параметра "а" - это все целые числа от \(\frac{1}{3}\) до \(\frac{1}{6}\).