Сколько человек было приглашено за стол, если между соседними участниками обстановились равные расстояния? На первого

Огонь

14

Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать знание о равных расстояниях между участниками и системе нумерации. Давайте посмотрим на пошаговое решение:

1. Давайте предположим, что было приглашено \(n\) человек. Тогда участнику с номером 1 соответствует участник с номером \(n\), так как между ними должно быть равное расстояние.

2. Участнику с номером 31 соответствует участник с номером 7 и участник с номером 13, так как расстояния до этих участников одинаковы.

3. Заметим, что 7 и 13 также разделены равным расстоянием. Таким образом, участника с номером 31 можно представить в виде \(31 = 7 + 13 + k\), где \(k\) - некоторое натуральное число.

4. Теперь давайте рассмотрим остаток от деления \(n\) на 7. Мы знаем, что участников с номерами 7, 14, 21 и т.д. должно быть на 3 больше, чем участников с номерами 31, 2 и т.д. То есть, если \(n\) делится на 7 с остатком \(r\), то участников с номерами 7, 14, 21 и т.д. будет \(3 + r\).

5. Исходя из пункта 4, мы можем записать уравнение вида \(n = 3 + r + 7k\), где \(r\) - остаток от деления \(n\) на 7, а \(k\) - некоторое натуральное число.

6. Пройдя по различным значениям \(r\) от 0 до 6, мы можем найти все значения, при которых уравнение из пункта 5 имеет решения.

7. Проведя несложные вычисления, мы обнаружим, что только для \(r = 3\) уравнение имеет решение. В этом случае участников должно быть \(n = 3 + 7k\).

Таким образом, поскольку нам дан номер последнего участника \(n = 31\), мы можем записать \(31 = 3 + 7k\) и решить это уравнение. Вычитая 3 из обоих частей, мы получим \(k = 4\). Подставляя \(k = 4\) в выражение, мы найдем число приглашенных участников:

\[n = 3 + 7k = 3 + 7 \cdot 4 = 31\]

Таким образом, было приглашено 31 человек.