Сколько членов геометрической прогрессии меньше 54, если известны шестой и седьмой члены?

Svetlyachok

52

Чтобы найти количество членов геометрической прогрессии меньше 54, если известны шестой и седьмой члены, нам потребуется использовать формулу для общего члена геометрической прогрессии \( a_n = a_1 \cdot r^{n-1} \), где \( a_n \) - значение n-го члена, \( a_1 \) - значение первого члена, \( r \) - множитель (знаменатель прогрессии) и \( n \) - номер члена прогрессии.

Известно, что шестой и седьмой члены прогрессии равны \( a_6 \) и \( a_7 \) соответственно. Обозначим эти значения как \( a_6 = x \) и \( a_7 = y \).

Теперь мы можем составить систему уравнений, используя формулу для общего члена геометрической прогрессии:

\[ a_6 = a_1 \cdot r^{6-1} = x \]

\[ a_7 = a_1 \cdot r^{7-1} = y \]

На первом шаге найдем отношение между шестым и седьмым членами:

\[ \frac{a_7}{a_6} = \frac{y}{x} = r \]

Теперь можем найти значение множителя \( r \):

\[ r = \frac{y}{x} \]

Продолжим с поиском значения первого члена, для этого мы можем использовать любое значение \( a_6 \) или \( a_7 \), в данном случае возьмем \( a_6 \):

\[ x = a_1 \cdot r^{6-1} = a_1 \cdot r^5 \]

Отсюда можем найти значение первого члена \( a_1 \):

\[ a_1 = \frac{x}{r^5} \]

Теперь мы можем найти ответ на вопрос задачи - сколько членов геометрической прогрессии меньше 54. Для этого мы будем последовательно подставлять значения в формулу для общего члена прогрессии и проверять, пока значение не превысит 54. Обозначим количество членов прогрессии как \( n \).

\[ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} \]

Мы хотим, чтобы значение \( a_n \) было меньше 54:

\[ a_1 \cdot r^{n-1} < 54 \]

Подставим значения \( a_1 \) и \( r \):

\[ \frac{x}{r^5} \cdot \left(\frac{y}{x}\right)^{n-1} < 54 \]

Упростим выражение:

\[ \left(\frac{y}{x}\right)^{n-1} < \frac{54 \cdot r^5}{x} \]

Далее, возьмем логарифм от обеих сторон неравенства:

\[ \log\left(\left(\frac{y}{x}\right)^{n-1}\right) < \log\left(\frac{54 \cdot r^5}{x}\right) \]

Используя свойство логарифма \(\log(a^b) = b \cdot \log(a)\), получим:

\[ (n-1) \cdot \log\left(\frac{y}{x}\right) < \log(54 \cdot r^5) - \log(x) \]

Далее, выразим неравенство относительно \(n\):

\[ n-1 < \frac{\log(54 \cdot r^5) - \log(x)}{\log\left(\frac{y}{x}\right)} \]

и округлим полученное значение \(n\) в большую сторону для получения целого числа, так как количество членов прогрессии должно быть целым:

\[ n = \lceil \frac{\log(54 \cdot r^5) - \log(x)}{\log\left(\frac{y}{x}\right)} \rceil \]

Вот и ответ на задачу - количество членов геометрической прогрессии меньше 54 равно \(n\). Подставьте известные значения \(x\) и \(y\) для получения конечного решения.