Сколько членов последовательности находятся между а3(k+2) и а3(k+6)?

Alla

16

Давайте разберемся в данной задаче. У нас есть последовательность с номерами членов \(a_n\), где \(n\) - это номер члена последовательности. Нам нужно определить количество членов, которые находятся между \(a_3(k+2)\) и \(a_3(k+6)\).

Первым шагом нужно выразить данные члены последовательности. Для этого мы знаем, что общий член последовательности вычисляется по формуле:

\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

где \(a_1\) - первый член последовательности, \(n\) - номер члена, а \(d\) - разность между членами последовательности.

В данном случае, нам даны номера членов \(a_3(k+2)\) и \(a_3(k+6)\). Подставляя \(n = 3(k+2)\) и \(n = 3(k+6)\) в формулу общего члена последовательности, получаем:

\[a_{3(k+2)} = a_1 + (3(k+2)-1)d\]
\[a_{3(k+6)} = a_1 + (3(k+6)-1)d\]

Теперь, чтобы найти количество членов, которые находятся между \(a_{3(k+2)}\) и \(a_{3(k+6)}\), нам нужно вычислить разность между номерами этих членов. Используем вторую формулу:

\[a_{3(k+6)} - a_{3(k+2)}\]

Подставляя выражения для \(a_{3(k+2)}\) и \(a_{3(k+6)}\) в данное выражение, получаем:

\[(a_1 + (3(k+6)-1)d) - (a_1 + (3(k+2)-1)d)\]

Упрощая данное выражение, получаем:

\[(a_1 + 3kd + 15d - d) - (a_1 + 3kd + 6d - d)\]
\[(a_1 + 3kd + 14d) - (a_1 + 3kd + 5d)\]

Замечаем, что \(a_1\), \(3kd\) и \(3kd\) сокращаются, и остается:

\[14d - 5d = 9d\]

Таким образом, количество членов, которые находятся между \(a_{3(k+2)}\) и \(a_{3(k+6)}\), равно \(9d\).