Сколько дорог соединяют 8 сказочных замков в государстве, при условии, что каждые 2 замка связаны дорогой

Zagadochnyy_Paren

59

Для решения данной задачи поможет применение комбинаторики. Каждый замок должен быть связан с каждым другим замком, поэтому нам нужно найти, сколько пар замков можно составить из общего числа замков.

Давайте разберемся пошагово:

1. Определение количества пар замков.
Для этого мы будем использовать формулу сочетания: \(\binom{n}{k}\), где \(n\) - общее количество объектов (замков), а \(k\) - количество объектов в каждой паре (в нашем случае это два замка).

2. Подстановка значений в формулу сочетания.
При подстановке значений в нашем случае получаем: \(\binom{8}{2}\).

3. Вычисление значения сочетания.
Вычислим значение сочетания: \(\binom{8}{2} = \frac{8!}{2!(8-2)!}\).
В данном случае, \(n = 8\) и \(k = 2\).

4. Упрощение выражения.
Упростим числитель и знаменатель:
\(\binom{8}{2} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times (6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)}\).

5. Сокращение.
Раскроем скобки и сократим некоторые значения:
\(\binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = \frac{56}{2} = 28\).

Ответ: В государстве соединяются 28 дорог, каждая из которых связывает два сказочных замка, не проходя через другие замки.