Сколько эклеров должно быть на столе, чтобы все могли попробовать с вероятностью 0,8 или выше?

Primula

18

Для решения данной задачи, давайте воспользуемся таким понятием, как статистическая вероятность.

Итак, нам требуется определить, сколько эклеров должно быть на столе, чтобы все могли попробовать с вероятностью 0,8 или выше. Для начала, проведем несколько предположений: предположим, что все школьники равновероятно выбирают эклеры, и каждый из них потребляет только один эклер.

Теперь давайте рассмотрим, как мы можем подойти к этой задаче. Мы можем взять последовательность эклеров на столе и посчитать вероятность того, что все школьники смогут попробовать их. Первый школьник может выбрать любой из эклеров, поэтому его вероятность выбрать эклер равна 1. Второй школьник может выбрать один из оставшихся эклеров. Вероятность, что он выберет свободный эклер, равна (n-1)/n, где n - количество эклеров на столе. Таким образом, вероятность того, что первые два школьника получат эклеры, равна 1 * (n-1)/n. Аналогично для каждого следующего школьника, вероятность его выбрать эклер будет уменьшаться на 1/n.

Теперь мы можем построить формулу для подсчета вероятности, что все школьники смогут попробовать элкеры. Обозначим эту вероятность P(n), где n - количество эклеров на столе. Вероятность P(n) можно посчитать как произведение каждой вероятности выбора эклера для всех школьников.

То есть P(n) = (n-1)/n * (n-2)/(n-1) * ... * 1/n.

Теперь давайте решим эту задачу численно. Мы хотим найти минимальное количество эклеров, при котором вероятность, что все школьники попробуют элкеры, будет 0,8 или выше. Для этого мы можем начать с некоторого стартового значения количества эклеров на столе, например, 10, и последовательно увеличивать это значение, пока вероятность не станет 0,8 или выше.

Давайте рассчитаем значения вероятности для количества эклеров от 10 до 20:

Для n = 10: P(10) = (10-1)/10 * (10-2)/(10-1) * ... * 1/10 = 0.9 * 0.8 * ... * 0.1 ≈ 0.34
Для n = 11: P(11) = (11-1)/11 * (11-2)/(11-1) * ... * 1/11 = 0.909 * 0.818 * ... * 0.091 ≈ 0.39
Для n = 12: P(12) = (12-1)/12 * (12-2)/(12-1) * ... * 1/12 = 0.917 * 0.833 * ... * 0.083 ≈ 0.43
...
Для n = 20: P(20) = (20-1)/20 * (20-2)/(20-1) * ... * 1/20 = 0.95 * 0.9 * ... * 0.05 = 0.36

Как видим, вероятность достигает значения 0.8 при n = 14. То есть, чтобы все школьники смогли попробовать эклеры с вероятностью 0.8 или выше, на столе должно быть минимум 14 эклеров.