Сколько есть упорядоченных пар натуральных чисел, чья сумма составляет 240 и у которых наибольший общий делитель равен?

Магический_Феникс

52

Для решения данной задачи, давайте разобьем ее на несколько шагов:

Шаг 1: Находим все натуральные числа, чей наибольший общий делитель равен 1.
Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел равен 1, если эти числа взаимно просты. Известно, что наибольшее число из пары не может быть больше половины суммы, то есть \(a \leq \frac{240}{2} = 120\). Также, так как наибольший общий делитель равен 1, то мы можем рассмотреть только нечетные числа. Подсчитаем количество таких чисел.

Шаг 2: Разбиваем сумму чисел на два слагаемых.
Так как мы ищем количество упорядоченных пар чисел, у которых сумма составляет 240, то мы можем разбить эту сумму на два числа \(a\) и \(b\).

Шаг 3: Подбираем числа и проверяем условие задачи.
Пройдемся по всем нечетным числам \(a\), которые меньше или равны 120. Для каждого выбранного числа \(a\) вычисляем \(b = 240 - a\).

Шаг 4: Проверяем наибольший общий делитель.
Для каждой найденной пары чисел \((a, b)\) вычисляем наибольший общий делитель с помощью алгоритма Евклида. Если наибольший общий делитель равен 1, считаем пару подходящей.

Шаг 5: Подсчитываем количество подходящих упорядоченных пар чисел.
Подсчитываем количество всех подходящих упорядоченных пар чисел и выводим результат.

После выполнения всех шагов, получаем максимально подробный ответ на задачу.