Сколько керосина нужно налить в одно из колен участка трубки, чтобы разность уровней воды и керосина в этих коленах

Kristina_4773

13

Данная задача связана с принципом работы гидрометров, используемых для измерения плотности жидкостей. Чтобы решить задачу, мы должны учесть плотность керосина и воды, а также объемы жидкостей в каждом колене участка трубки.

Предположим, у нас есть участок трубки в форме буквы "U". Пусть первое колено заполнено керосином до определенного уровня, а второе колено заполнено водой до другого уровня. Разность уровней воды и керосина в коленах составляет 1 см.

Для начала, обозначим следующие переменные:
\(V_1\) - объем керосина в первом колене,
\(V_2\) - объем воды во втором колене,
\(h\) - высота разности уровней воды и керосина.

Так как разность уровней составляет 1 см, то мы имеем уравнение:
\(h = 1\) см = 0.01 м.

Теперь обратимся к принципу Архимеда. Он говорит, что любое тело, погруженное в жидкость, испытывает со стороны этой жидкости поддерживающую силу, равную весу вытесненной жидкости. В данной задаче это означает, что силы, действующие на керосин и воду в участке трубки, должны быть равны между собой.

Поскольку мы хотим найти объем керосина в первом колене (то есть \(V_1\)), нам понадобится уравнение, учитывающее эту равновесие сил:
\(m_1g = m_2g\),
где
\(m_1\) - масса керосина,
\(m_2\) - масса воды,
\(g\) - ускорение свободного падения.

Используем плотности \(ρ_1\) и \(ρ_2\) для керосина и воды соответственно:
\(ρ_1\) - плотность керосина,
\(ρ_2\) - плотность воды.

Теперь можем записать массы керосина и воды в терминах их плотностей, объемов и уравнения:
\(m_1 = ρ_1V_1\),
\(m_2 = ρ_2V_2\).

Подставим эти значения в уравнение равновесия сил:
\(ρ_1V_1g = ρ_2V_2g\).

Так как сила тяжести \(mg\) одинакова для обоих колен, она сокращается.

Теперь нам нужно выразить объем воды \(V_2\) в терминах объема керосина \(V_1\) и затем решить уравнение относительно \(V_1\).

Обратимся к геометрии участка трубки. Поскольку второе колено заполнено водой, его объем \(V_2\) можно выразить как разность объема всего колена и объема керосина в первом колене:
\[V_2 = V_{колено} - V_1.\]

Теперь заменим \(V_2\) в уравнении:
\[ρ_1V_1g = ρ_2(V_{колено} - V_1)g.\]

Приравняем коэффициенты при \(V_1\) и решим уравнение:
\[ρ_1gV_1 = ρ_2gV_{колено} - ρ_2gV_1.\]

Теперь выразим \(V_1\):
\[ρ_1gV_1 + ρ_2gV_1 = ρ_2gV_{колено}.\]

Объединим все коэффициенты перед \(V_1\):
\[(ρ_1g + ρ_2g)V_1 = ρ_2gV_{колено}.\]

Выразим \(V_1\):
\[V_1 = \frac{ρ_2gV_{колено}}{ρ_1g + ρ_2g}.\]

Наконец, подставим начальные данные с учетом плотностей керосина и воды:
\[V_1 = \frac{ρ_{воды}gV_{колено}}{ρ_{керосина}g + ρ_{воды}g}.\]