Сколько клеток было закрашено после того, как провели диагональ в клетчатом прямоугольнике размером 2019*2020

Aleksandrovich

16

Чтобы решить задачу, давайте представим себе клетчатый прямоугольник размером 2019x2020. После проведения диагонали, нам нужно определить, сколько клеток было закрашено.

Для начала, рассмотрим прямоугольник размером 3x2 и проведем диагональ:

\[
\begin{array}{cccc}
0 & 0 & \times & \times \\
0 & 0 & \times & \times \\
\times & \times & 0 & 0 \\
\times & \times & 0 & 0 \\
\times & \times & 0 & 0 \\
\times & \times & 0 & 0 \\
\end{array}
\]

Как мы видим, диагональ проходит через 4 клетки и закрашивает их. Если будем продолжать этот процесс для прямоугольника размером 5x4 и больших, мы заметим следующую закономерность.

Рассмотрим прямоугольник 3x2 и вычислим сколько клеток закрашено. Видим, что длина диагонали равна 3, то есть количество закрашенных клеток пропорционально длине диагонали. Если мы увеличим прямоугольник до размера 4x3, то длина диагонали также увеличится на 1 и количество закрашенных клеток тоже увеличится на 1.

Теперь рассмотрим прямоугольник 5x4. Длина диагонали равна 5, а количество закрашенных клеток равно 3 (поскольку на самом краю одна клетка не закрашена). Если мы увеличим прямоугольник до размера 6x5, длина диагонали будет равна 6, а количество закрашенных клеток будет равно 4.

Мы можем заметить, что количество закрашенных клеток равно длине диагонали минус 1.

Теперь рассмотрим прямоугольник 2019x2020. Длина диагонали равна 2019, поэтому количество закрашенных клеток будет равно 2019 - 1 = 2018.

Таким образом, после проведения диагонали в клетчатом прямоугольнике размером 2019x2020 и закрашивания всех клеточек, через которые проходит этот отрезок, было закрашено 2018 клеток.