Сколько клеток в клетчатом прямоугольнике 2020×2021 закрашено после проведения диагонали, которая соединяет

Yagnenok

63

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать метод отсчета или просто применить геометрические знания.

Мы можем представить клетчатый прямоугольник 2020×2021 как совокупность маленьких квадратных клеток. Затем мы проведем диагональ, которая соединяет противоположные вершины прямоугольника.

Давайте рассмотрим координатную сетку и разделим клетчатый прямоугольник на две части: одну ниже диагонали и одну выше диагонали.

Выше диагонали: Рассмотрим первую строку прямоугольника. Так как диагональ разделяет клетки, то в этой строке все клетки выше диагонали будут закрашены. Всего в первой строке 2021 клетка, и все они будут закрашены. Затем мы посмотрим на следующую строку. Вторая строка будет иметь 2 клетки ниже диагонали, и все они будут закрашены. На третьей строке будет 3 закрашенных клетки, на четвертой - 4, и так далее. В общем случае, в i-й строке будет i закрашенных клеток. Поскольку у нас 2020 строк выше диагонали, мы можем найти сумму первых 2020 натуральных чисел:

\[1 + 2 + 3 + \ldots + 2020 = \frac{{2020 \cdot 2021}}{2} = 2041210\]

То есть, выше диагонали будет закрашено 2,041,210 клеток.

Ниже диагонали: Если мы развернем клетчатый прямоугольник и рассмотрим его как совокупность вертикальных столбцов, то мы можем использовать тот же метод для расчета закрашенных клеток. По аналогичной причине, количество закрашенных клеток в i-м столбце будет также равно i. Тогда, количество закрашенных клеток ниже диагонали будет равно сумме первых 2020 натуральных чисел, то есть 2,041,210.

Теперь мы можем сложить количество закрашенных клеток ниже и выше диагонали:

2,041,210 + 2,041,210 = 4,082,420

Таким образом, после проведения диагонали, которая соединяет противоположные вершины прямоугольника 2020×2021 и пересекает клетки, будет закрашено 4,082,420 клеток.