Сколько клеток в прямоугольнике размером 2021 х 2022 закрашено чёрным цветом после проведения диагонали?

Лунный_Шаман

21

Для решения этой задачи нам потребуется построить прямоугольник размером 2021 х 2022 и провести его диагональ. Затем мы определим количество закрашенных клеток.

Для начала, нарисуем прямоугольник размером 2021 х 2022. Выпишем по порядку числа от 1 до 2021 в одну строку, а затем продолжим числа от 2022 до 4042 во второй строке, и так далее, пока не заполним все 2021 строк:

\[
\begin{{array}}{{ccccccccc}}
1 & 2 & 3 & \dots & 2019 & 2020 & 2021 \\
2022 & 2023 & 2024 & \dots & 4040 & 4041 & 4042 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\
4048 & 4049 & 4050 & \dots & 6068 & 6069 & 6070 \\
\end{{array}}
\]

Теперь проведем диагональ от верхнего левого угла до нижнего правого угла прямоугольника:

\[
\begin{{array}}{{ccccccccc}}
\color{{black}}{\mathbf{1}} & \color{{black}}{2} & \color{{black}}{3} & \dots & \color{{black}}{2019} & \color{{black}}{2020} & \color{{black}}{2021} \\
2022 & \color{{black}}{\mathbf{2023}} & 2024 & \dots & 4040 & \color{{black}}{\mathbf{4041}} & 4042 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\
4048 & 4049 & 4050 & \dots & \color{{black}}{\mathbf{6068}} & 6069 & \color{{black}}{\mathbf{6070}} \\
\end{{array}}
\]

Как видно из приведенной схемы, каждая чередующаяся клетка на диагонали будет закрашена черным цветом. То есть чередуемся между числами 1 и 2023, 2020 и 4041, 4048 и 6070 и так далее. Всего наш прямоугольник имеет 2021 строку и 2022 столбца.

Давайте теперь построим формулу для нахождения количества черных клеток в прямоугольнике. Обратим внимание, что черная клетка на диагонали может быть только в клетках с нечётными номерами строки или столбца.

Количество черных клеток в прямоугольнике можно найти, разбив его на четыре подпрямоугольника, каждый из которых содержит только нечётные номера строк и столбцов:

\[
\begin{{array}}{{ll}}
\text{{Подпрямоугольник 1:}} & \text{{2021 строка, 2022 столбца}} \\
\text{{Подпрямоугольник 2:}} & \text{{2021 строка, 2021 столбец}} \\
\text{{Подпрямоугольник 3:}} & \text{{2022 строка, 2022 столбца}} \\
\text{{Подпрямоугольник 4:}} & \text{{2022 строка, 2021 столбец}} \\
\end{{array}}
\]

Итак, количество черных клеток в каждом подпрямоугольнике равно половине числа клеток, так как мы выбираем только нечётные нумерации. Для подпрямоугольника 1 имеем:

\[
\text{{Количество черных клеток в подпрямоугольнике 1}} = \frac{{2021 \cdot 2022}}{2}
\]

Аналогично, для каждого из остальных подпрямоугольников имеем:

\[
\begin{{align*}}
\text{{Количество черных клеток в подпрямоугольнике 2}} & = \frac{{2021 \cdot 2021}}{2} \\
\text{{Количество черных клеток в подпрямоугольнике 3}} & = \frac{{2022 \cdot 2022}}{2} \\
\text{{Количество черных клеток в подпрямоугольнике 4}} & = \frac{{2022 \cdot 2021}}{2} \\
\end{{align*}}
\]

Теперь нам нужно просуммировать количество черных клеток в каждом подпрямоугольнике, чтобы найти общее количество черных клеток:

\[
\begin{{align*}}
\text{{Общее количество черных клеток}} & = \left( \frac{{2021 \cdot 2022}}{2} \right) + \left( \frac{{2021 \cdot 2021}}{2} \right) + \left( \frac{{2022 \cdot 2022}}{2} \right) + \left( \frac{{2022 \cdot 2021}}{2} \right) \\
& = 2044083 + 2042040 + 2044042 + 2043033 \\
& = 8177198 \\
\end{{align*}}
\]

Итак, в прямоугольнике размером 2021 х 2022, после проведения диагонали, будет закрашено 8177198 клеток черным цветом.