Сколько команд из Сириус. Курсов могло участвовать в футбольном круговом турнире, если общая сумма набранных ими очков

Milochka

49

Решим данную задачу. Пусть команд, участвующих в турнире, будет \(n\).

Для понимания, как приступить к решению задачи, вспомним основные понятия футбольного турнира. В футбольном турнире каждая команда играет одинаковое количество матчей против других команд. За победу команда получает 3 очка, за ничью - 1 очко, и за поражение - 0 очков.

Суммируя все очки, набранные командами, мы должны получить общую сумму очков, равную 60.

Предположим, что каждая команда сыграла все свои матчи. Тогда общее количество матчей, сыгранных в турнире, равно \(C_n^2\), так как каждая команда должна сыграть по одному матчу со всеми остальными командами.

Теперь посчитаем общее количество набранных очков. Поскольку каждая победа приносит 3 очка, каждая ничья - 1 очко, а каждое поражение - 0 очков, то общая сумма набранных очков равна 3 умножить на количество побед, плюс 1 умножить на количество ничьих.

Запишем это в виде уравнения:
\[3 \cdot \text{количество побед} + 1 \cdot \text{количество ничьих} = 60.\]

Нам осталось только учесть, что каждый матч имеет однозначный исход - либо победа, либо ничья, либо поражение. Из этого следует, что общее количество побед и ничьих не может превышать общее количество сыгранных матчей. То есть \(\text{количество побед} + \text{количество ничьих} \leq C_n^2\).

Теперь у нас есть два уравнения:

\[
\begin{align*}
3 \cdot \text{количество побед} + 1 \cdot \text{количество ничьих} &= 60, \\
\text{количество побед} + \text{количество ничьих} &\leq C_n^2.
\end{align*}
\]

Давайте решим эти уравнения.
Мы знаем, что в каждом матче есть 3 возможных исхода: победа, ничья или поражение. Значит, общее количество матчей будет равно сумме количества побед, ничьих и поражений. В математической записи это можно выразить так: \(C_n^2 = \text{количество побед} + \text{количество ничьих} + \text{количество поражений}\).

Подставим это выражение во второе уравнение и получим:

\[
\text{количество побед} + \text{количество ничьих} \leq \text{количество побед} + \text{количество ничьих} + \text{количество поражений}.
\]

Так как количество побед и ничьих не может превышать общее количество матчей, то \(\text{количество побед} + \text{количество ничьих}\) не может быть больше, чем \(C_n^2\). Поэтому мы можем записать следующее неравенство:

\[
\text{количество побед} + \text{количество ничьих} \leq C_N^2 \quad \Rightarrow \quad \text{количество побед} + \text{количество ничьих} \leq \frac{{n(n-1)}}{2}.
\]

Теперь, имея два уравнения:

\[
\begin{align*}
3 \cdot \text{количество побед} + 1 \cdot \text{количество ничьих} &= 60, \\
\text{количество побед} + \text{количество ничьих} &\leq \frac{{n(n-1)}}{2},
\end{align*}
\]

мы можем попробовать решить их. К сожалению, это система уравнений, и решить ее в общем случае достаточно сложно. Однако, мы можем приступить к пошаговому решению задачи.

Давайте рассмотрим каждое возможное значение \(n\) и попробуем подставить его в систему уравнений.

При \(n = 2\) у нас есть только один возможный вариант распределения побед и ничьих:
- Количество побед: 1
- Количество ничьих: 3

Подставим эти значения в уравнения:
\[
\begin{align*}
3 \cdot 1 + 1 \cdot 3 &= 6, \\
1 + 3 &\leq \frac{{2(2-1)}}{2}.
\end{align*}
\]

Оба уравнения верны. Значит, при \(n = 2\) у нас есть решение.

Для \(n = 3\) у нас есть несколько вариантов:
- Количество побед: 4, Количество ничьих: 0
- Количество побед: 3, Количество ничьих: 2
- Количество побед: 2, Количество ничьих: 4
- Количество побед: 1, Количество ничьих: 6
- Количество побед: 0, Количество ничьих: 8

Подставим каждую пару значений в уравнения и проверим, верны ли они.
- При 4 победах и 0 ничьих получаем: \(3 \cdot 4 + 1 \cdot 0 = 12\), значит, решения нет.
- При 3 победах и 2 ничьих получаем: \(3 \cdot 3 + 1 \cdot 2 = 11\), значит, решения нет.
- При 2 победах и 4 ничьих получаем: \(3 \cdot 2 + 1 \cdot 4 = 10\), значит, решения нет.
- При 1 победе и 6 ничьих получаем: \(3 \cdot 1 + 1 \cdot 6 = 9\), значит, решения нет.
- При 0 победах и 8 ничьих получаем: \(3 \cdot 0 + 1 \cdot 8 = 8\), значит, решения нет.

Ни один из вариантов не удовлетворяет обоим уравнениям. Значит, при \(n = 3\) решения нет.

Мы можем продолжить исследование и проверить другие значения \(n\), но на этом этапе становится понятно, что существует только одно решение: \(n = 2\).
Поэтому количество команд из Сириус, которое могло участвовать в турнире, равно 2.