Сколько корней у уравнения tg2x = tgx на интервале [п/2 ; 3п/2]?

Ameliya_8209

36

Чтобы найти количество корней у данного уравнения на заданном интервале, нам необходимо рассмотреть поведение функций tg2x и tgx на этом интервале.

Для начала, давайте запишем уравнение и выразим tg2x и tgx в терминах синусов и косинусов:

tg2x = tgx

\( \frac{{sin(2x)}}{{cos(2x)}} = \frac{{sin(x)}}{{cos(x)}} \)

Умножим обе части уравнения на \( cos(2x) \cdot cos(x) \) чтобы избавиться от знаменателей:

\( sin(2x) \cdot cos(x) = sin(x) \cdot cos(2x) \)

Раскроем произведения:

\( 2sin(x)cos(x) \cdot cos(x) = sin(x) \cdot (cos^2(x) - sin^2(x)) \)

\( 2sin(x)cos^2(x) = sin(x)cos^2(x) - sin^3(x) \)

Сократим \( sin(x) \cdot cos^2(x) \) с обеих частей уравнения:

\( 2cos^2(x) = cos^2(x) - sin^2(x) \)

Выразим \( sin^2(x) \) через \( cos^2(x) \):

\( 2cos^2(x) = cos^2(x) - (1 - cos^2(x)) \)

\( 2cos^2(x) = 2cos^2(x) - 1 \)

Сократим \( 2cos^2(x) \) с обеих частей уравнения:

\( 0 = -1 \)

Мы получили противоречие, так как полученное уравнение не имеет решений.

Таким образом, уравнение tg2x = tgx не имеет корней на интервале [п/2 ; 3п/2].

Математически этот результат можно объяснить тем, что функции tg2x и tgx являются тригонометрическими функциями, их значения повторяются соответственно через каждый период. Область определения tgx - все действительные числа, кроме значений, при которых cosx = 0, то есть при x = п/2 + пn (где n - целое число). Область определения tg2x аналогична. В то же время, значения tg2x и tgx могут быть равными только тогда, когда аргументы x и 2x находятся в одинаковых точках пересечения графиков функций tgx и tg2x, иначе говоря, функции должны совпадать. Но, как мы выяснили, на интервале [п/2 ; 3п/2] это невозможно.