Сколько ламп из 12 вероятнее всего выйдет из строя в течение гарантийного срока, если каждая лампа имеет вероятность

Chernysh

19

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо рассмотреть вероятности выхода из строя различного количества ламп из 12 и выбрать наиболее вероятный вариант.

Для начала определим количество ламп, которые могут выйти из строя из 12. Вероятность выхода каждой лампы из строя равна 0,4.

Используя биномиальное распределение, мы можем вычислить вероятность того, что k ламп из 12 выйдут из строя с помощью формулы:

\[P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}\]

где P(X = k) - вероятность того, что к ламп из 12 выйдут из строя,
C_n^k - количество сочетаний из n по k,
p - вероятность выхода каждой лампы из строя,
n - количество испытаний, т.е. количество ламп (в данном случае 12).

Давайте посчитаем вероятность для каждого возможного значения k - количества ламп, вышедших из строя:

Для k = 0:
\[P(X = 0) = C_{12}^0 \cdot 0.4^0 \cdot (1-0.4)^{12-0}\]
\[P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.6^{12} \approx 0.0060466176\]

Для k = 1:
\[P(X = 1) = C_{12}^1 \cdot 0.4^1 \cdot (1-0.4)^{12-1}\]
\[P(X = 1) = 12 \cdot 0.4 \cdot 0.6^{11} \approx 0.040310784\]

Для k = 2:
\[P(X = 2) = C_{12}^2 \cdot 0.4^2 \cdot (1-0.4)^{12-2}\]
\[P(X = 2) = \frac{12!}{2! \cdot (12-2)!} \cdot 0.4^2 \cdot 0.6^{10} \approx 0.120932352\]

Для k = 3:
\[P(X = 3) = C_{12}^3 \cdot 0.4^3 \cdot (1-0.4)^{12-3}\]
\[P(X = 3) = \frac{12!}{3! \cdot (12-3)!} \cdot 0.4^3 \cdot 0.6^{9} \approx 0.214990848\]

Проделав аналогичные вычисления для остальных значений k, мы получаем следующие вероятности:

Для k = 4: 0.250822656
Для k = 5: 0.214990848
Для k = 6: 0.144196736
Для k = 7: 0.078197760
Для k = 8: 0.034859584
Для k = 9: 0.012922176
Для k = 10: 0.003922304
Для k = 11: 0.000911296
Для k = 12: 0.000145856

Таким образом, наиболее вероятным вариантом является выход из строя 2 ламп из 12 в течение гарантийного срока, так как это соответствует наибольшей вероятности выхода из строя по сравнению с другими вариантами.

Обратите внимание, что эти вероятности являются теоретическими и могут не соответствовать действительности в конкретном случае. Также возможны и другие варианты выхода из строя, но при данных условиях предполагается, что 2 лампы из 12 вероятнее всего выйдут из строя.