Сколько максимально цветов могут быть использованы для окрашивания шариков, если каждый из 55 шариков лежит в кругу

Yuzhanin

19

Для решения этой задачи нам потребуется некоторый анализ.

Предположим, что нам удалось окрасить все шарики в кругу с использованием более трех различных цветов. Рассмотрим последовательные группы из 6 шариков - в каждой из этих групп не должно быть больше трех различных цветов. Но так как всего шариков 55, и они уложены в круг, мы должны учесть группу, которая содержит начало и конец круга. Это значит, что нужно рассмотреть два случая:

1. Группы, которые не содержат начало и конец круга;
2. Группу, которая содержит начало и конец круга.

Давайте рассмотрим первый случай. Если мы разрешаем использование не более трех цветов, то есть всего 3^6 = 729 возможных комбинаций цветов для этих групп. Так как ни одна из этих комбинаций не должна повторяться, мы можем использовать не более 729 различных комбинаций цветов для всех групп, которые не содержат начало и конец круга.

Второй случай немного сложнее. Группа, которая содержит начало и конец круга (назовем ее A), будет иметь 5 шариков. Как и в предыдущем случае, мы должны рассмотреть все 3^5 = 243 возможных комбинации цветов для этой группы. Но здесь есть одно условие, которое мы должны учесть. Группа A должна быть уникальна и не должна повторяться ни с одной из групп без начала и конца. Кроме того, группа A должна быть различна от группы с первыми 5 шариками (назовем ее B) и группы с последними 5 шариками (назовем ее C). То есть, группа A должна быть уникальна среди всех промежуточных групп, включая B и C. К сожалению, нам сложно определить точное количество допустимых комбинаций, которое удовлетворяет этим условиям.

Таким образом, максимальное количество цветов, которые могут быть использованы для окрашивания шариков при данных условиях, будет равно наименьшим значениям из двух предыдущих случаев. Следовательно, максимально возможное количество цветов будет меньше или равно 729.

Итак, ответ на задачу: максимально возможное количество цветов, которые могут быть использованы для окрашивания шариков при данных условиях, будет не более 729.