Сколько мальчиков могло быть в общей сложности, если по кругу стоят 130 детей, среди которых есть хотя бы один мальчик

Morskoy_Cvetok

32

Давайте решим данную задачу пошагово.

1. Предположим, что вся группа состоит из \(x\) мальчиков и \(y\) девочек. Тогда общее количество детей в группе равно \(x+y\).
2. По условию, известно, что по кругу стоит 130 детей, значит \(x+y=130\).
3. Каждый ребенок говорит, что его соседи - мальчик и девочка. Это значит, что для каждого ребенка, его соседи - мальчик и девочка, даже если это неправда.
4. Выделим два случая для анализа:
- Случай 1: Если предположить, что два мальчика находятся в одной группе, то между ними должна быть хотя бы одна девочка. Пусть эта девочка будет сидеть за одним из мальчиков. В таком случае, оставшиеся дети в группе будут состоять из \(x-1\) мальчика и \(y-1\) девочки.
- Случай 2: Если предположить, что два мальчика не находятся в одной группе, то каждый из них должен быть соседом девочки. Пусть одна девочка сидит между ними. В таком случае, оставшиеся дети в группе будут состоять из \(x\) мальчика и \(y-1\) девочки.
5. Теперь рассмотрим информацию о том, что все мальчики сказали неправду, а ровно одна девочка тоже сказала неправду. Из этой информации следует, что количество мальчиков, которые сказали неправду, равно \(x-1\), а количество девочек, которые сказали неправду, равно 1.
6. Из этих условий можно составить следующую систему уравнений:
\[
\begin{cases}
x-1 = x-1, \\
1 = y-1.
\end{cases}
\]
7. Решив данную систему уравнений, получим:
\[
\begin{cases}
0 = 0, \\
1 = y-1.
\end{cases}
\]
8. Из первого уравнения видим, что оно всегда верно. Из второго уравнения находим, что \(y=2\).
9. Таким образом, получаем, что количество девочек в группе равно 2.
10. Подставим это значение в уравнение \(x+y=130\): \(x+2=130\). Решая данное уравнение, найдем \(x=128\).
11. Итак, мы получили, что в данной группе может быть 128 мальчиков и 2 девочки.

Таким образом, ответ на данную задачу: в общей сложности в группе может быть 128 мальчиков, если условия задачи выполнены.