Сколько натуральных чисел n существует, для которых остаток от деления на n на 2020 равен

Zinaida

50

Для данной задачи начнем с того, что остаток от деления натурального числа на 2020 не может быть больше 2020, так как остаток всегда меньше делителя. Следовательно, нам интересны только остатки от деления на 2020, которые находятся в диапазоне от 0 до 2019.

Теперь мы можем приступить к решению задачи. Для каждого остатка от деления на 2020 мы будем проверять, сколько натуральных чисел соответствуют этому остатку. Если мы найдем хотя бы одно число, то мы сможем утверждать, что таких чисел бесконечно много.

Рассмотрим первый остаток от деления на 2020, который равен 0. Чтобы число n делилось на 2020 без остатка, оно должно быть кратно 2020. То есть, нам нужно найти все натуральные числа, делящиеся на 2020. При делении на 2020 мы получим целое число только в двух случаях: либо число делится на 2 и на 5, либо оно делится на 101.

То есть, мы можем представить это в виде двух неравенств: n делится на 2 и 5, и n делится на 101. Теперь мы можем решить каждое из этих неравенств отдельно и найти все натуральные числа, которые удовлетворяют этим условиям.

Неравенство n делится на 2 и 5 можно записать в виде:

\[n = 2 \cdot 5 \cdot k\]

где k - некоторое натуральное число. Мы можем выбрать любое значение k, начиная с 1, и получить соответствующее число n. Таким образом, количество натуральных чисел, делящихся на 2020 без остатка, равно бесконечности, так как мы можем выбирать любое натуральное значение для k.

Теперь рассмотрим неравенство n делится на 101:

\[n = 101 \cdot m\]

где m - некоторое натуральное число. Мы можем выбрать любое значение m, начиная с 1, и получить соответствующее число n. Таким образом, количество натуральных чисел, которые делятся на 101 без остатка, также равно бесконечности.

Исходя из этого, мы можем сделать вывод, что количество натуральных чисел n, для которых остаток от деления на n на 2020 равен 0, также равно бесконечности.

Остальные остатки от деления на 2020 (от 1 до 2019) мы можем аналогично рассмотреть и прийти к выводу, что для каждого из них количество подходящих натуральных чисел равно бесконечности.

Итак, в ответе на задачу можно сказать, что количество натуральных чисел n, для которых остаток от деления на n на 2020 равен любому числу от 0 до 2019, также равно бесконечности.