Сколько нулей на конце итогового числа, полученного умножением 1*2*3*4**37? + разъяснение!

Malysh_4046

52

Мы можем решить эту задачу, используя факт, что ноль на конце числа появляется, когда число делится на \(10 = 2 \times 5\). Разделим каждый множитель в выражении \(1 \times 2 \times 3 \times 4 \times \ldots \times 37\) на простые сомножители:

\[
\begin{align*}
1 & = 1 \\
2 & = 2 \\
3 & = 3 \\
4 & = 2 \times 2 \\
\ldots \\
37 & = 37
\end{align*}
\]

Каждый раз, когда мы умножаем два числа и получаем 10, мы делим один раз на 10 и получаем один ноль на конце числа. Числа 2 и 5 можно найти в следующих множителях:

\[
\begin{align*}
1 & = 1 \\
2 & = 2 \times \color{red}{1} \\
3 & = 3 \times \color{red}{1} \\
4 & = 2 \times \color{red}{2} \\
5 & = \color{red}{5} \times \color{red}{1} \\
6 & = 2 \times \color{red}{3} \\
7 & = 7 \times \color{red}{1} \\
8 & = 2 \times 2 \times \color{red}{2} \\
9 & = 3 \times 3 \\
10 & = 2 \times \color{red}{5} \\
\end{align*}
\]

Мы видим, что двойка появляется достаточно часто в последовательности чисел, поскольку у нас есть четные числа, и каждое второе число делится на 2. Количество пятерок в последовательности будет гораздо меньше, так как только 5-е, 10-е и 15-е числа делятся на 5. Тем не менее, количество двоек всегда больше, чем количество пятерок, поэтому нам остается найти, сколько пятерок мы можем найти в последовательности.

В нашем случае у нас есть одна пятерка (\(5 \times 1\)) и одна пятерка (\(5 \times 2\)), то есть две пятерки в итоговом числе \(1 \times 2 \times 3 \times 4 \times \ldots \times 37\).

Таким образом, итоговое число будет иметь два нуля на конце.