Сколько оборотов в секунду будет делать горизонтальная платформа, если человек смещается от расстояния r/4 до нулевого

Солнечный_День

29

Для решения этой задачи мы можем использовать закон сохранения углового момента. Угловой момент системы остается постоянным, когда нет внешних моментов сил.

Угловой момент системы можно выразить как произведение момента инерции и угловой скорости. Момент инерции платформы можно выразить через его массу и радиус, используя формулу \(I = \frac{1}{2} m r^2\), где \(m\) - масса платформы, а \(r\) - ее радиус. В нашем случае, масса платформы \(m = 100 \, \text{кг}\) и радиус платформы \(r\).

Угловая скорость платформы можно выразить через число оборотов в секунду. Если платформа делает 1 оборот в секунду, то угловая скорость \(\omega = 2\pi \, \text{рад/с}\).

Когда человек смещается от расстояния \(r/4\) до нулевого расстояния от центра платформы, его момент инерции остается неизменным. Поэтому произведение момента инерции и угловой скорости до смещения должно равняться произведению момента инерции и угловой скорости после смещения.

При смещении от расстояния \(r/4\) до нулевого расстояния человек проходит \(r/4\) длины окружности платформы. Длина окружности можно выразить как \(2\pi r\). Используя соотношение для длины дуги:
\(s = \theta r\), где \(s\) - длина дуги, а \(\theta\) - угол (в радианах), можно найти, что угол смещения равен \(\frac{r/4}{r} = \frac{1}{4}\) радиана.

Подставив все значения в уравнение сохранения углового момента, получаем:

\[\frac{1}{2} m r^2 \cdot 2\pi \, \text{рад/с} = \frac{1}{2} m r^2 \cdot \omega"\]

где \(\omega"\) - новая угловая скорость платформы после смещения.

Решая уравнение относительно \(\omega"\), получаем:

\[\omega" = 2\pi \, \text{рад/с} \cdot \frac{2\pi r}{\frac{1}{4} r} = 32\pi \, \text{рад/с}\]

Таким образом, горизонтальная платформа будет делать \(32\pi\) оборота в секунду.