Сколько пакетиков с канфетами сможет собрать Нина, чтобы в каждом пакетике были конфеты всех трех видов и чтобы во всех

Золотая_Завеса

35

Дана задача о том, сколько пакетиков с конфетами сможет собрать Нина, чтобы в каждом пакетике были конфеты всех трех видов и чтобы во всех пакетиках конфет было одинаковое количество.

Для начала, нам следует выяснить, сколько всего конфет у Нины есть для сборки пакетиков. Для этого мы должны знать количество конфет каждого вида.

Пусть у Нины есть \( a \) конфет первого вида, \( b \) конфет второго вида и \( c \) конфет третьего вида.

Для того чтобы в каждом пакетике были конфеты всех трех видов, количество конфет каждого вида в пакетике должно быть одинаковым.

Предположим, что количество конфет каждого вида в пакетике равно \( x \).

Тогда общее количество конфет первого вида будет равно \( a = m \cdot x \), где \( m \) - количество пакетиков.

Аналогично, общее количество конфет второго вида будет равно \( b = m \cdot x \), и для третьего вида конфет, общее количество будет \( c = m \cdot x \).

Таким образом, для того чтобы в каждом пакетике были конфеты всех трех видов и чтобы во всех пакетиках конфет было одинаковое количество, мы должны найти наименьшее общее кратное чисел \( a \), \( b \) и \( c \).

Найдем НОК для этих чисел.

Нам известно, что НОК может быть найдено следующим образом:

\[
НОК(a, b, c) = \frac{{a \cdot b \cdot c}}{{НОД(a, b, c)}}
\]

где НОД - наибольший общий делитель.

Таким образом, сколько пакетиков Нина сможет собрать так, чтобы в каждом пакетике были конфеты всех трех видов и чтобы во всех пакетиках конфет было одинаковое количество, будет равно НОК чисел \( a \), \( b \) и \( c \).

Мы можем найти НОК чисел \( a \), \( b \) и \( c \), используя алгоритм Евклида для нахождения НОД.

Шаги алгоритма Евклида:

1. Вычислите НОД(число1, число2) с использованием остатка от деления числа1 на число2.

2. Повторяйте шаг 1 до тех пор, пока остаток не станет равным нулю.

3. Когда остаток станет равным нулю, последнее ненулевое число будет НОД числа1 и числа2.

Теперь выполним эти шаги для чисел \( a \), \( b \) и \( c \).

Найдем НОД чисел \( a \) и \( b \):

\[
НОД(a, b) = НОД(2x, 3x) = x \cdot НОД(2, 3) = x \cdot 1 = x
\]

Таким образом, НОД чисел \( a \) и \( b \) равен \( x \).

Затем найдем НОД чисел \( x \) и \( c \):

\[
НОД(х, с) = НОД(x, 5x) = x \cdot НОД(1, 5) = x \cdot 1 = x
\]

Таким образом, НОД чисел \( x \) и \( с \) также равен \( x \).

Теперь найдем НОД чисел \( a \), \( b \) и \( c \):

\[
НОД(а, b, c) = НОД(a, НОД(b, c)) = НОД(x, x) = x
\]

Таким образом, НОД чисел \( a \), \( b \) и \( c \) равен \( x \).

Теперь мы можем найти НОК чисел \( a \), \( b \) и \( c \):

\[
НОК(a, b, c) = \frac{{a \cdot b \cdot c}}{{НОД(a, b, c)}} = \frac{{x \cdot x \cdot x}}{{x}} = x^2
\]

Таким образом, Нина сможет собрать \( x^2 \) количество пакетиков с конфетами, чтобы в каждом пакетике были конфеты всех трех видов и чтобы во всех пакетиках конфет было одинаковое количество.