Сколько пакетиков желатина потребуется для приготовления глазури, покрывающей боковую поверхность трёхъярусного торта
Сколько пакетиков желатина потребуется для приготовления глазури, покрывающей боковую поверхность трёхъярусного торта на свадьбу известной киноактрисы? Учитывайте, что каждый ярус торта имеет основание с радиусами 25 см и 15 см, причем радиус верхнего основания каждого следующего яруса на 5 см меньше и образующая каждого яруса равна радиусу нижнего основания. Известно, что один пакетик желатина хватает на приготовление 200 г глазури, которой достаточно для покрытия 0,015 м^2 торта.
Zoloto 56
Для решения этой задачи нам потребуется найти площадь боковой поверхности трёхъярусного торта, а затем определить, сколько пакетиков желатина нам потребуется для приготовления глазури.Для начала рассмотрим каждый ярус торта отдельно. У нас есть трое ярусов с основаниями, радиусы которых составляют 25 см и 15 см соответственно. Радиус верхнего основания каждого следующего яруса на 5 см меньше, а образующая каждого яруса равна радиусу нижнего основания. Давайте найдем высоту каждого из ярусов с помощью теоремы Пифагора.
Высота первого яруса:
\[h_1 = \sqrt{r_1^2 - r_2^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20 \, \text{см}\]
Высота второго яруса:
\[h_2 = \sqrt{r_2^2 - r_3^2} = \sqrt{15^2 - 10^2} = \sqrt{225 - 100} = \sqrt{125} = 11.18 \, \text{см}\]
Высота третьего яруса:
\[h_3 = \sqrt{r_3^2 - r_4^2} = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 8.66 \, \text{см}\]
Теперь найдем площади оснований каждого яруса.
Площадь первого яруса:
\[S_1 = \pi r_1^2 = \pi \cdot 25^2 = 625\pi \, \text{см}^2\]
Площадь второго яруса:
\[S_2 = \pi r_2^2 = \pi \cdot 15^2 = 225\pi \, \text{см}^2\]
Площадь третьего яруса:
\[S_3 = \pi r_3^2 = \pi \cdot 10^2 = 100\pi \, \text{см}^2\]
Теперь посчитаем площадь боковой поверхности каждого яруса, умножив окружность на высоту.
Площадь боковой поверхности первого яруса:
\[B_1 = 2\pi r_1 \cdot h_1 = 2\pi \cdot 25 \cdot 20 = 1000\pi \, \text{см}^2\]
Площадь боковой поверхности второго яруса:
\[B_2 = 2\pi r_2 \cdot h_2 = 2\pi \cdot 15 \cdot 11.18 = 335.1\pi \, \text{см}^2\]
Площадь боковой поверхности третьего яруса:
\[B_3 = 2\pi r_3 \cdot h_3 = 2\pi \cdot 10 \cdot 8.66 = 173.2\pi \, \text{см}^2\]
Теперь сложим все площади боковых поверхностей ярусов, чтобы получить общую площадь боковой поверхности торта:
\[B_{\text{торта}} = B_1 + B_2 + B_3 = 1000\pi + 335.1\pi + 173.2\pi = 1508.3\pi \, \text{см}^2\]
Мы знаем, что один пакетик желатина хватает на приготовление 200 г глазури, которой достаточно для покрытия 0,015 м^2 поверхности торта. Поэтому, чтобы найти количество пакетиков желатина, нам нужно разделить общую площадь боковой поверхности торта на площадь, которую покрывает один пакетик желатина:
\[N = \frac{B_{\text{торта}}}{0.015} = \frac{1508.3\pi}{0.015} \approx 31853.39 \, \text{пакетиков}\]
Итак, для приготовления глазури, покрывающей боковую поверхность трёхъярусного торта, нам понадобится около 31853 пакетиков желатина.