Сколько пар целых чисел может удовлетворять неравенству [tex]x^2 + y ^2 leqslant 2[/tex]?

Petya_3429

5

Давайте решим задачу о количестве пар целых чисел, которые удовлетворяют неравенству \[x^2 + y^2 \leqslant 2.\]

Чтобы найти все пары целых чисел, которые удовлетворяют данному неравенству, мы могли бы перебрать все возможные значения \((x, y)\) и проверить, выполняется ли неравенство для каждой пары. Но это может быть довольно трудоемкой задачей, поскольку нам нужно проверить бесконечное количество возможных пар.

Однако, мы можем решить эту задачу с помощью геометрического подхода. Заметим, что уравнение \(x^2 + y^2 = 2\) описывает окружность с центром в начале координат и радиусом \(\sqrt{2}\). Вопрос заключается в определении, сколько точек на этой окружности имеют целые координаты.

Рассмотрим первую четверть плоскости: когда оба числа \(x\) и \(y\) положительны или равны нулю. Мы можем заметить, что на плоскости существует четыре целочисленных точки, лежащих на этой окружности: \((1, 1)\), \((1, 0)\), \((0, 1)\), и \((0, 0)\).

Поскольку уравнение симметрично относительно начала координат, аналогичные целочисленные точки можно найти в других четвертях плоскости: \((-1, 1)\), \((-1, 0)\), \((0, -1)\), \((-1, -1)\), \((1, -1)\) и \((1, 0)\).

Итак, мы находим восемь целочисленных точек на окружности \(x^2 + y^2 = 2\) в первой четверти плоскости. Учитывая симметрию, мы получаем, что всего пар целых чисел, удовлетворяющих исходному неравенству, будет 32.

Думаю, это решение должно быть понятно и полезно для школьника. Если есть еще вопросы, пожалуйста, задайте их.