Сколько пар целых чисел может удовлетворять неравенству [tex]x^2 + y ^2 leqslant 2[/tex]?

Petya_3429

5

Давайте решим задачу о количестве пар целых чисел, которые удовлетворяют неравенству $$x^2+y^2⩽2.$$

Чтобы найти все пары целых чисел, которые удовлетворяют данному неравенству, мы могли бы перебрать все возможные значения $(x,y)$ и проверить, выполняется ли неравенство для каждой пары. Но это может быть довольно трудоемкой задачей, поскольку нам нужно проверить бесконечное количество возможных пар.

Однако, мы можем решить эту задачу с помощью геометрического подхода. Заметим, что уравнение $x^2+y^2=2$ описывает окружность с центром в начале координат и радиусом $\sqrt{2}$. Вопрос заключается в определении, сколько точек на этой окружности имеют целые координаты.

Рассмотрим первую четверть плоскости: когда оба числа $x$ и $y$ положительны или равны нулю. Мы можем заметить, что на плоскости существует четыре целочисленных точки, лежащих на этой окружности: $(1,1)$, $(1,0)$, $(0,1)$, и $(0,0)$.

Поскольку уравнение симметрично относительно начала координат, аналогичные целочисленные точки можно найти в других четвертях плоскости: $(-1,1)$, $(-1,0)$, $(0,-1)$, $(-1,-1)$, $(1,-1)$ и $(1,0)$.

Итак, мы находим восемь целочисленных точек на окружности $x^2+y^2=2$ в первой четверти плоскости. Учитывая симметрию, мы получаем, что всего пар целых чисел, удовлетворяющих исходному неравенству, будет 32.

Думаю, это решение должно быть понятно и полезно для школьника. Если есть еще вопросы, пожалуйста, задайте их.