Какое максимальное значение может принимать функция y=4,5⋅2^cos⁡2xcos⁡3x−sin⁡2xsin⁡3x+2?

Веселый_Пират

10

Давайте решим эту задачу пошагово.

1. Сначала давайте разложим функцию \(y\) на множители, чтобы проще было провести анализ.

Разложим \(y = 4,5 \cdot 2^{\cos(2x) \cdot \cos(3x) - \sin(2x) \cdot \sin(3x) + 2}\).

2. Заметим, что в выражении \(\cos(2x) \cdot \cos(3x) - \sin(2x) \cdot \sin(3x)\) мы имеем произведение синусов и косинусов одного и того же угла. Вспомним, что существует тригонометрическая формула для произведения синусов и косинусов:

\(\cos(a - b) = \cos(a) \cdot \cos(b) + \sin(a) \cdot \sin(b)\).

Применяя эту формулу, мы можем переписать наше выражение следующим образом:

\(\cos(2x) \cdot \cos(3x) - \sin(2x) \cdot \sin(3x) = \cos(2x - 3x)\).

Упрощая, получаем:

\(\cos(2x) \cdot \cos(3x) - \sin(2x) \cdot \sin(3x) = \cos(-x)\).

Так как косинус является четной функцией, то \(\cos(-x) = \cos(x)\). Поэтому наше выражение равно \(\cos(x)\).

3. Подставим это значение обратно в функцию \(y\):

\(y = 4,5 \cdot 2^{\cos(x) + 2}\).

4. Разложим выражение \(2^{\cos(x) + 2}\):

\(2^{\cos(x) + 2} = 2^2 \cdot 2^{\cos(x)} = 4 \cdot 2^{\cos(x)}\).

5. Теперь мы имеем упрощенное выражение для функции \(y\):

\(y = 4,5 \cdot 4 \cdot 2^{\cos(x)} = 18 \cdot 2^{\cos(x)}\).

Ответ: Максимальное значение функции \(y\) равно \(18 \cdot 2^{\cos(x)}\).