Сколько пересадочных станций необходимо построить в метро, чтобы выполнялись требования: в нем должно быть 100 линий

Yagoda_1704

59

Для решения этой задачи нам следует использовать комбинаторику и теорию графов. Давайте пошагово рассмотрим ее решение.

Шаг 1: Определим, сколько пересекающихся линий есть на каждой станции.
Давайте предположим, что у нас есть \( n \) пересадочных станций. Так как каждая пара линий должна пересекаться только на одной общей станции, каждая станция будет соединять \( \binom{n}{2} \) пар линий. Также у нас должно быть ровно одна станция, на которую сходятся три линии. Такая станция будет соединять \(\binom{3}{2}\) пары линий, то есть 3 линии.

Шаг 2: Определим общее количество пересекающихся пар линий.
У нас есть 100 линий в метро, и каждая из них пересекает другие \( \binom{n}{2} \) линий на каждой станции. Таким образом, общее количество пересекающихся пар линий равно \(100 \cdot \binom{n}{2}\).

Шаг 3: Построим уравнение для нахождения значения n.
Так как на ровно одной станции должны сходиться три линии, мы можем написать следующее уравнение:
\[100 \cdot \binom{n}{2} = \binom{3}{2}\]

Шаг 4: Решим уравнение.
Для нахождения значения n нам необходимо решить уравнение:
\[100 \cdot \binom{n}{2} = \binom{3}{2}\]

Вычислив значения биномиальных коэффициентов, получим:
\[100 \cdot \frac{n(n-1)}{2}=3\]

Упростим уравнение:
\[50n(n-1)=3\]

Теперь решим квадратное уравнение для нахождения значения n:
\[50n^2 - 50n - 3 = 0\]

Дискриминант этого уравнения равен:
\[D = (-50)^2 - 4 \cdot 50 \cdot (-3)\]

\[D = 2500 + 600 = 3100\]

Используя формулу для решения квадратного уравнения, получим:
\[n = \frac{-(-50) \pm \sqrt{3100}}{2 \cdot 50}\]

\[n = \frac{50 \pm \sqrt{3100}}{100}\]

Так как нам нужно найти целое значение n, мы можем использовать только положительный корень:
\[n = \frac{50 + \sqrt{3100}}{100}\]

Шаг 5: Вычислим значение n.
Для этого нам нужно вычислить корень из 3100 и добавить его к 50. Затем результат разделим на 100:
\[n \approx \frac{50 + 55.77}{100} \approx \frac{105.77}{100} \approx 1.058\]

Так как n должно быть целым числом, округлим его до ближайшего целого:
\[n = 1\]

Ответ: Для выполнения требований задачи необходимо построить 1 пересадочную станцию в метро.