Сколько раз стрелок попал в цель, чтобы получить 10 штрафных очков в серии из 30 выстрелов?

Yazyk

55

Давайте решим эту задачу пошагово.

Предположим, что каждый выстрел имеет два возможных варианта: попасть в цель или не попасть. Вероятность попадания в цель это \(p\), а вероятность промаха это \(1-p\).

Мы знаем, что выстрелы независимы, то есть исход одного выстрела не влияет на исход следующего выстрела. Это означает, что мы можем использовать биномиальное распределение для решения этой задачи.

Биномиальное распределение позволяет нам расчитать вероятность получить определенное количество успехов в серии независимых испытаний. В нашем случае, успехом является попадание стрелка в цель.

Формула для биномиального распределения:

\[
P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
\]

Где:
- \(P(X = k)\) - вероятность получить \(k\) успехов
- \(\binom{n}{k}\) - число сочетаний из \(n\) по \(k\), что можно рассчитать как \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\)
- \(p^k\) - вероятность получить \(k\) успехов (\(p\) в степени \(k\))
- \((1-p)^{n-k}\) - вероятность получить \(n - k\) неудач (\(1-p\) в степени \(n - k\))

В нашей задаче, нам нужно найти такое значение \(k\), при котором \(P(X = k)\) равно 10 штрафным очкам из 30 выстрелов.

Итак, давайте подставим значения в формулу:

\[
P(X = k) = \binom{30}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{30-k} = 10
\]

Мы должны решить это уравнение относительно \(k\) и \(p\). Однако, заметим, что у нас есть 2 неизвестных и только одно уравнение. Поэтому нам нужна дополнительная информация или предположение о значении \(p\) для решения этой задачи.

Если у вас есть дополнительные данные или ограничения, пожалуйста, укажите их и я помогу вам продолжить решение задачи.