Сколько раз заяц должен увеличить свою скорость после сна, чтобы финишировать одновременно с черепахой?

Konstantin

63

Данная задача относится к классической проблеме параллельного движения, и чтобы найти ответ, мы можем использовать концепцию пройденного расстояния и скорости каждого из животных. Давайте выясним, как мы можем решить эту задачу.

Пусть скорость черепахи равна \( v_1 \) (единиц расстояния в единицу времени), а скорость зайца равна \( v_2 \).
Также предположим, что заяц спит в течение некоторого времени \( t \) (в единицах времени), после чего начинает бежать со скоростью, увеличенной в \( k \) раз. Тогда его скорость будет равна \( k \cdot v_2 \) после сна.

Обозначим расстояние между стартовой линией и финишной линией как \( D \). Предположим, что черепаха и заяц финишируют одновременно. Зайцу потребуется время \( t \) для пробуждения и времени \( \frac{D}{k \cdot v_2} \) для преодоления расстояния \( D \) со скоростью \( k \cdot v_2 \). Черепахе потребуется время \( \frac{D}{v_1} \) для преодоления расстояния \( D \) со скоростью \( v_1 \).

Таким образом, уравнение, описывающее условие задачи, можно записать следующим образом:

\[ t + \frac{D}{k \cdot v_2} = \frac{D}{v_1} \]

Для решения этого уравнения необходимо найти значение \( k \), при котором заяц финиширует одновременно с черепахой.

Давайте решим это уравнение:

\[ t + \frac{D}{k \cdot v_2} = \frac{D}{v_1} \]

Перенесём все слагаемые справа:

\[ \frac{D}{k \cdot v_2} = \frac{D}{v_1} - t \]

Теперь возьмем общий знаменатель слева:

\[ \frac{D}{k \cdot v_2} = \frac{D - t \cdot k \cdot v_2}{v_1} \]

Умножим обе части уравнения на \( k \cdot v_1 \cdot v_2 \), чтобы избавиться от дробей:

\[ D \cdot v_1 = (D - t \cdot k \cdot v_2) \cdot (k \cdot v_1 \cdot v_2) \]

Раскроем скобки:

\[ D \cdot v_1 = D \cdot k \cdot v_1 \cdot v_2 - t \cdot k^2 \cdot v_1 \cdot v_2^2 \]

Перенесём все слагаемые с \( D \cdot k \cdot v_1 \cdot v_2 \) на одну сторону:

\[ D \cdot v_1 - D \cdot k \cdot v_1 \cdot v_2 = - t \cdot k^2 \cdot v_1 \cdot v_2^2 \]

Вынесем общий множитель \( D \cdot v_1 (1 - k \cdot v_2) \) слева:

\[ D \cdot v_1 (1 - k \cdot v_2) = - t \cdot k^2 \cdot v_1 \cdot v_2^2 \]

Теперь, разделим обе части уравнения на \(-t \cdot k^2 \cdot v_1 \cdot v_2^2\):

\[ \frac{D \cdot v_1 (1 - k \cdot v_2)}{-t \cdot k^2 \cdot v_1 \cdot v_2^2} = 1 \]

Умножим оба числителя и знаменателя на \(-1\):

\[ \frac{-D \cdot v_1 (k \cdot v_2 - 1 )} {t \cdot k^2 \cdot v_1 \cdot v_2^2} = 1 \]

Теперь выразим \( k \):

\[ k = \sqrt{\frac{-D \cdot v_1}{D \cdot v_2 - t \cdot v_1 \cdot v_2^2}} \]

Вот и ответ. Чтобы заяц финишировал одновременно с черепахой, ему нужно увеличить свою скорость в \( k \) раз после сна, где \( k = \sqrt{\frac{-D \cdot v_1}{D \cdot v_2 - t \cdot v_1 \cdot v_2^2}} \).

Обратите внимание, что в вычислениях использовались переменные \( D \), \( v_1 \), \( v_2 \) и \( t \), которые не были заданы в условии. Предполагается, что вам даны значения этих переменных, и вы можете подставить их в формулу для получения числового ответа.