Сколько различных фигур можно получить, если составление фигур совершается несколько раз из всех 15 спичек, включая

Zagadochnyy_Kot

5

Для решения этой задачи, нам нужно использовать принцип комбинаторики. Мы будем рассматривать каждую фигуру и считать количество способов ее построения.

1. Треугольники:
Из 15 спичек мы можем выбрать 3 для каждого треугольника. Для выбора первой спички имеем 15 вариантов, для выбора второй - 14 (поскольку первая спичка уже выбрана), и для выбора третьей - 13. Однако порядок выбора спичек не имеет значения, поэтому мы должны разделить на количество перестановок 3 спичек, то есть на 3!. Таким образом, общее количество треугольников равно:

\[C_{3}^{15} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 455\]

2. Квадраты:
Из 15 спичек мы можем выбрать 4 для каждого квадрата. Для выбора первой спички имеем 15 вариантов, для выбора второй - 14, для выбора третьей - 13, а для выбора четвертой - 12. Но так как порядок выбора спичек не имеет значения, мы должны разделить на количество перестановок 4 спичек, то есть на 4!. Таким образом, общее количество квадратов равно:

\[C_{4}^{15} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 1365\]

3. Другие фигуры:
Помимо треугольников и квадратов, мы также можем создать фигуры, состоящие из 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 или 14 спичек. Однако, для указанных количеств спичек нет правильной формулы как в случаях квадратов и треугольников. Поэтому непосредственно перечислим все варианты.

Общее количество различных фигур, которые можно составить с помощью 15 спичек, включая треугольники и квадраты, составляет:

\[455 + 1365 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 1875\]