Какие значения параметра a приводят к тому, что система уравнений x^2+(2a-2)x+a^2-2a-3=0; √(x^2+(y-a)^2
Какие значения параметра a приводят к тому, что система уравнений x^2+(2a-2)x+a^2-2a-3=0; √(x^2+(y-a)^2) + √(x+4)^2+(y-a)^2)=4 имеет только одно решение?
Валерия_7343 59
Чтобы найти значения параметра \(a\), при которых система уравнений имеет только одно решение, мы должны рассмотреть каждое из уравнений по отдельности и пошагово решать их.Начнем с первого уравнения:
\[x^2 + (2a-2)x + a^2 - 2a - 3 = 0\]
Для этого квадратного уравнения мы можем использовать дискриминант, чтобы определить, сколько решений оно имеет. Дискриминант вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где в нашем случае \(a = 1\), \(b = 2a-2\), \(c = a^2 - 2a - 3\).
Если дискриминант равен нулю (\(D = 0\)), то уравнение имеет только одно решение.
Теперь посмотрим на второе уравнение:
\[\sqrt{x^2 + (y-a)^2} + \sqrt{(x+4)^2 + (y-a)^2} = 4\]
Для удобства обозначим первый корень как \(r_1\) и второй корень как \(r_2\). Тогда уравнение можно переписать в следующем виде:
\[r_1 + r_2 = 4\]
Для того чтобы система уравнений имела только одно решение, сумма корней должна быть равна 4 (\(r_1 + r_2 = 4\)).
Теперь мы можем приступить к решению уравнения системы.
1. Рассмотрим первое уравнение \(x^2 + (2a-2)x + a^2 - 2a - 3 = 0\):
- Вычислять дискриминант по формуле \(D = (2a - 2)^2 - 4(a^2 - 2a -3)\).
- Решить уравнение, используя дискриминант:
- Если \(D = 0\), то уравнение имеет только одно решение.
- Если \(D > 0\), то уравнение имеет два различных решения.
- Если \(D < 0\), то уравнение не имеет решений.
2. Рассмотрим второе уравнение \(\sqrt{x^2 + (y-a)^2} + \sqrt{(x+4)^2 + (y-a)^2} = 4\):
- Рассмотрим возможные значения параметра \(a\), которые делают сумму корней (\(r_1 + r_2\)) равной 4:
- Подставить найденные корни в уравнение и проверить, что их сумма равна 4.
- Если сумма корней равна 4 для конкретного значения \(a\), то это значение удовлетворяет условию задачи.
3. Найдите значения параметра \(a\), которые удовлетворяют обоим условиям.
Учтите, что я могу рассчитать промежуточные результаты, показать шаги для решения квадратного уравнения и помочь проверить значения \(a\), подставляя их во второе уравнение.