Сколько различных прямых можно провести, проходящих через каждую комбинацию двух из шести указанных точек?

Цветочек

19

Для решения этой задачи нам необходимо использовать комбинаторику и геометрию. Воспользуемся формулой для подсчета количества прямых, которые можно провести через \(n\) точек в плоскости.

Формула гласит: \[C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!}\]

В нашем случае \(n = 6\), так как мы имеем 6 указанных точек.

Подставляя значения, получаем:
\[C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!}\]
\[C_6^2 = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{2!4!} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15\]

Таким образом, через каждую комбинацию из двух указанных точек можно провести 15 различных прямых.

Объяснение:
Для начала, давайте рассмотрим, сколько есть способов выбрать 2 точки из 6. Это можно сделать, применяя формулу сочетания \(C_n^k\), где \(n\) - общее количество элементов, а \(k\) - количество элементов для выбора.
Таким образом, \(C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!}\) дает нам число сочетаний из 6 по 2.
Мы можем упростить это выражение, используя факториалы: \(6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\).
Деление на \(2!\) эквивалентно делению на 2, так как \(2! = 2 \cdot 1 = 2\).
Выражение \(4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\) в числителе и знаменателе сокращается.
Итак, остается \(C_6^2 = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15\).

Таким образом, у нас есть 15 способов провести прямые через каждую комбинацию из двух из указанных точек.