Сколько различных способов можно разместить 6 образцов товаров на витрине, учитывая, что доступно 3 изделия первого

Янтарка

69

Чтобы решить эту задачу, нужно использовать комбинаторику и принципы подсчёта.

Первым шагом определим, сколько различных способов можно выбрать и расположить изделия первого вида. У нас есть доступно 3 изделия первого вида, и мы можем выбрать 6 образцов из них. Для этого можем использовать формулу сочетания:

\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

где \(n\) - общее количество элементов, \(k\) - количество элементов, которые мы выбираем. В нашем случае, \(n = 3\) и \(k = 6\), поэтому количество возможных способов выбрать и расположить изделия первого вида равно:

\[C(3, 6) = \frac{{6!}}{{3! \cdot (6-3)!}} = \frac{{6!}}{{3! \cdot 3!}} = \frac{{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 20\]

То есть у нас есть 20 способов разместить изделия первого вида.

Аналогично, мы можем использовать формулу сочетания для определения количества способов выбрать и расположить изделия второго и третьего вида. У нас доступно 4 изделия второго вида и 2 изделия третьего вида. Подставим значения в формулу:

Изделия второго вида:
\[C(4, 6) = \frac{{6!}}{{4! \cdot (6-4)!}} = \frac{{6!}}{{4! \cdot 2!}} = \frac{{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1}} = 15\]

Изделия третьего вида:
\[C(2, 6) = \frac{{6!}}{{2! \cdot (6-2)!}} = \frac{{6!}}{{2! \cdot 4!}} = \frac{{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 15\]

Теперь у нас есть количество способов разместить каждый вид изделий. Чтобы найти общее количество способов разместить все изделия, мы можем воспользоваться принципом умножения. По этому принципу, если у нас есть \(n\) способов сделать одну вещь и \(m\) способов сделать другую вещь, то общее количество способов сделать обе вещи равно \(n \cdot m\).

В нашем случае, у нас есть 20 способов разместить изделия первого вида, 15 способов разместить изделия второго вида и 15 способов разместить изделия третьего вида. Теперь применим принцип умножения:

Общее количество способов разместить все изделия \(= 20 \cdot 15 \cdot 15 = 4500\)

Таким образом, существует 4500 различных способов разместить 6 образцов товаров на витрине, учитывая заданные ограничения по количеству изделий каждого вида.