Сколько различных треугольников может быть образовано из 12 точек, расположенных на одной прямой, и 5 точек

Yarus_346

59

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала посмотрим на общую формулу для определения количества треугольников, образованных из n точек.

Обозначим n как количество точек. Чтобы образовать треугольник, нам нужно выбрать 3 точки из этих n точек.

Формула для определения количества комбинаций из n элементов, выбранных по k элементов, называется биномиальным коэффициентом и обозначается как "C(n, k)" или "n choose k". Она задается следующим образом:

$$C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Где "!" обозначает факториал. Факториал числа n обозначается как n! и означает произведение всех положительных целых чисел от 1 до n.

Теперь посмотрим, как применить эту формулу к нашей задаче.

У нас есть 12 точек, расположенных на одной прямой, и 5 точек, расположенных на параллельной прямой. Чтобы найти количество различных треугольников, которые можно образовать из этих точек, мы должны сложить количество треугольников, образованных только точками на одной прямой, и количество треугольников, образованных точками на параллельной прямой.

Для точек на одной прямой, нам нужно выбрать 3 точки из 12. Таким образом, мы можем использовать формулу "C(12, 3)".

$$\text{Количество треугольников на одной прямой}=C(12,3)=\frac{12!}{3!(12-3)!}$$

Для точек на параллельной прямой, нам нужно выбрать 3 точки из 5. Таким образом, мы можем использовать формулу "C(5, 3)".

$$\text{Количество треугольников на параллельной прямой}=C(5,3)=\frac{5!}{3!(5-3)!}$$

Теперь, чтобы найти общее количество различных треугольников, мы должны сложить количество треугольников, образованных только точками на одной прямой, и количество треугольников, образованных только точками на параллельной прямой.

$$\text{Общее количество различных треугольников}=\text{Количество треугольников на одной прямой}+\text{Количество треугольников на параллельной прямой}$$

Вычислим:

$$\text{Количество треугольников на одной прямой}=C(12,3)=\frac{12!}{3!(12-3)!}=\frac{12\cdot 11\cdot 10}{3\cdot 2\cdot 1}=220$$

$$\text{Количество треугольников на параллельной прямой}=C(5,3)=\frac{5!}{3!(5-3)!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3}{3\cdot 2\cdot 1}=10$$

$$\text{Общее количество различных треугольников}=220+10=230$$

Таким образом, из предоставленных точек образуется 230 различных треугольников.