Сколько различных треугольников можно образовать, если выбрать 11 точек на одной прямой и 4 точки на параллельной

Дружок

68

Для решения этой задачи мы можем использовать комбинаторику. Перед тем, как начать, давайте разберемся в терминологии.

В данной задаче у нас есть две параллельные прямые - одна из них содержит 11 точек, а другая - 4 точки. Мы хотим узнать, сколько различных треугольников можно образовать с использованием этих точек.

Для образования треугольника необходимо выбрать три точки из заданных. Но прежде чем мы приступим к выбору точек, нам нужно учесть некоторые ограничения.

Ограничения:
1. Мы не можем выбирать точки с обеих прямых одновременно, так как треугольники с двумя вершинами на одной прямой не считаются различными.
2. Мы не можем выбирать точки на одной прямой, так как треугольники с тремя вершинами на одной прямой также не считаются различными.

Учитывая эти ограничения, разберемся с каждой ситуацией по отдельности.

Ситуация 1: Выбор трех точек на прямой с 11 точками.
В данном случае мы можем выбрать тройку точек среди 11 имеющихся. Количество комбинаций из 11 точек по 3 можно вычислить следующим образом:

\[\binom{11}{3} = \frac{11!}{3!(11-3)!}\]

Ситуация 2: Выбор трех точек на прямой с 4 точками.
Аналогично, здесь мы можем выбрать тройку точек среди 4 имеющихся. Количество комбинаций из 4 точек по 3 можно вычислить так:

\[\binom{4}{3} = \frac{4!}{3!(4-3)!}\]

Ситуация 3: Выбор двух точек на прямой с 11 точками и одной точки на прямой с 4 точками.
В этом случае мы можем выбрать две точки среди 11 на первой прямой и одну точку среди 4 на второй прямой. Количество комбинаций можно вычислить так:

\[\binom{11}{2} \cdot \binom{4}{1} = \frac{11!}{2!(11-2)!} \cdot \frac{4!}{1!(4-1)!}\]

Теперь мы можем сложить результаты из всех трех ситуаций, чтобы найти общее количество различных треугольников:

\[\binom{11}{3} + \binom{4}{3} + \binom{11}{2} \cdot \binom{4}{1}\]

Выполним вычисления:

\[\binom{11}{3} = \frac{11!}{3! \cdot 8!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 165\]
\[\binom{4}{3} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = 4\]
\[\binom{11}{2} \cdot \binom{4}{1} = \frac{11!}{2! \cdot 9!} \cdot \frac{4!}{1! \cdot 3!} = \frac{11 \cdot 10}{2} \cdot 4 = 220\]

Таким образом, общее количество различных треугольников, которые можно образовать с использованием выбранных точек, равно:

\[165 + 4 + 220 = 389\]

Ответ: Мы можем образовать 389 различных треугольников.