Сколько различных треугольников можно сформировать, используя 14 точек на одной прямой и 3 точки на параллельной

Федор

25

Чтобы решить эту задачу, нам нужно понять, какие треугольники можно сформировать с использованием данных точек.

На одной прямой у нас есть 14 точек. Представим, что у нас есть некоторая точка A и мы хотим построить треугольник, используя эту точку. Чтобы построить треугольник, нам нужно выбрать две другие точки из 13 оставшихся на этой же прямой. Таким образом, количество треугольников, которые можно сформировать с использованием точки A, равно \(C(13,2)\), где \(C(n,r)\) представляет количество сочетаний из n по r.

Теперь рассмотрим параллельную прямую с 3 точками. Для каждой точки на этой прямой мы можем выбрать две другие точки из 13 оставшихся на первой прямой. Таким образом, количество треугольников, которые можно сформировать с использованием точек на параллельной прямой, равно \(3 \times C(13,2)\).

Но у нас есть еще одно ограничение. Мы помним, что треугольник имеет три вершины, и каждая вершина должна быть разной. Поэтому треугольники, в которых все три вершины лежат на одной прямой, мы не учитываем.

Поскольку на первой прямой у нас есть 14 точек, то существует 14 треугольников с одной вершиной на этой прямой. Таким образом, общее количество треугольников, которые можно сформировать, равно \(3 \times C(13,2) - 14\).

Теперь давайте вычислим это значение:

\[
3 \times C(13,2) - 14 = 3 \times \frac{{13!}}{{11! \times 2!}} - 14 = 3 \times \frac{{13 \times 12}}{{2 \times 1}} - 14 = 3 \times 78 - 14 = 234 - 14 = 220
\]

Таким образом, с использованием данных точек, можно сформировать 220 различных треугольников.