Какова сумма первых пяти членов геометрической прогрессии, если известно, что третий член равен 5, а шестой член равен

Boris

33

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо найти первые пять членов геометрической прогрессии и вычислить их сумму. Давайте разберемся пошагово:

Шаг 1: Найдем знаменатель прогрессии (q).
Для этого мы можем использовать информацию о третьем и шестом членах.
По определению геометрической прогрессии, каждый следующий член прогрессии получается умножением предыдущего на постоянное число q.

Из условия, мы знаем, что третий член равен 5 (a3 = 5) и шестой член равен 625 (a6 = 625).

Мы можем использовать следующее соотношение для нахождения знаменателя:
a6 = a3 * q^3

Подставим известные значения:
625 = 5 * q^3

Шаг 2: Найдем значение q.
Для этого мы можем разделить обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от множителя перед q^3.
625/5 = q^3

Упростим:
125 = q^3

Теперь найдем значение q, извлекая кубический корень:
q = \(\sqrt[3]{125} = 5\)

Шаг 3: Найдем первый член прогрессии (a1).
Для этого мы можем использовать информацию о третьем члене и знаменателе прогрессии.
a3 = a1 * q^(3-1)

Подставим известные значения:
5 = a1 * 5^2

Упростим:
25 = a1 * 25

Поделим обе части уравнения на 25:
a1 = 1

Шаг 4: Найдем остальные члены прогрессии.
Теперь у нас есть первый член (a1) и знаменатель (q). Мы можем использовать формулу общего члена геометрической прогрессии для нахождения остальных членов:
an = a1 * q^(n-1)

Вычислим первые пять членов:
a1 = 1
a2 = 1 * 5^(2-1) = 5
a3 = 1 * 5^(3-1) = 25
a4 = 1 * 5^(4-1) = 125
a5 = 1 * 5^(5-1) = 625

Шаг 5: Найдем сумму первых пяти членов прогрессии.
Теперь, когда у нас есть значения всех пяти членов прогрессии, мы можем просто сложить их, чтобы найти сумму:
S = a1 + a2 + a3 + a4 + a5
S = 1 + 5 + 25 + 125 + 625
S = 781

Таким образом, сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 781.