Сколько различных значения получила Лена при вычислении всех возможных попарных сумм пяти натуральных чисел, записанных

Kote

18

Чтобы решить эту задачу, давайте пошагово опишем процесс вычисления всех попарных сумм пяти натуральных чисел, записанных Сашей.

У нас есть пять натуральных чисел, которые записал Саша. Давайте обозначим эти числа как \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) и \(e\). Важно отметить, что все эти числа должны быть различными, так как мы говорим о различных значениях.

Теперь рассмотрим все возможные попарные суммы этих чисел. Для этого мы можем сложить каждое число с каждым другим числом и записать полученные суммы.

Таким образом, у нас будет 10 различных попарных сумм:

1. \(a + b\)
2. \(a + c\)
3. \(a + d\)
4. \(a + e\)
5. \(b + c\)
6. \(b + d\)
7. \(b + e\)
8. \(c + d\)
9. \(c + e\)
10. \(d + e\)

Теперь давайте посмотрим, сколько различных значений может получить Лена при вычислении всех этих попарных сумм. Для этого нам нужно проанализировать все эти суммы и отсеять повторяющиеся значения.

Предположим, что у нас есть два различных попарных суммы, которые равны. Например, \(a + b = c + d\). Что это означает? Это означает, что мы можем заменить одну пару чисел другой парой и получить одинаковую сумму. Например, мы можем заменить пару \((a, b)\) на пару \((c, d)\) и сумма останется неизменной.

Теперь давайте рассмотрим все возможные комбинации пар чисел, которые равны между собой:

1. \(a + b = c + d\)
2. \(a + b = c + e\)
3. \(a + c = b + d\)
4. \(a + c = b + e\)
5. \(a + d = b + e\)
6. \(b + c = a + e\)
7. \(b + d = a + c\)
8. \(b + e = a + d\)
9. \(c + d = a + b\)
10. \(c + e = a + b\)
11. \(d + e = a + b\)

Теперь давайте обратим внимание на первое равенство: \(a + b = c + d\). Если мы знаем значения \(a\) и \(b\), то мы можем выразить значения \(c\) и \(d\). Например, если \(a = 2\) и \(b = 3\), то \(c = 2 + 3 - d\). Очевидно, что сумма \(a + b\) будет различной для разных значений \(a\) и \(b\), так как сумма зависит от значений \(a\) и \(b\). Следовательно, значения \(c\) и \(d\) будут различными для разных попарных сумм.

То же самое верно для всех остальных равенств. Каждое равенство определяет уникальное значение пары чисел \((c, d)\), \((c, e)\), \((b, d)\), \((b, e)\), \((a, e)\), \((a, c)\), \((a, d)\), \((b, d)\), \((c, e)\) и \((d, e)\).

Итак, количество различных значений, которые может получить Лена при вычислении всех попарных сумм пяти натуральных чисел, записанных Сашей, равно 10.

I чтобы убедить нас в этом, давайте представим ситуацию, в которой все попарные суммы будут равны между собой. В таком случае, все значения будут зависеть только от одной пары чисел, будут в примере: \(a = 1\), \(b = 2\) и \(c = d = e = 0\). В этом случае будет получаться только одно значение для всех попарных сумм. Однако, это значит, что все числа будут равны друг другу, что не соответствует условию задачи, где указано, что все числа должны быть различными.