Сколько рублей было изначально в каждом кармане, если при переложении 5 рублей из первого во второй карман, сумма

Пламенный_Змей

24

Пусть \( x \) - количество рублей в первом кармане, а \( y \) - количество рублей во втором кармане изначально.

Из условия задачи мы имеем два уравнения:

1) После переложения 5 рублей из первого во второй карман, сумма в первом кармане стала в два раза меньше суммы во втором кармане. Это можно записать следующим образом:

\( x - 5 = \frac{1}{2}(y + 5) \)

2) После переложения 5 рублей из второго в первый карман, сумма в первом кармане стала в три раза меньше суммы во втором кармане. Это можно записать следующим образом:

\( x + 5 = \frac{1}{3}(y - 5) \)

Давайте решим эту систему уравнений:

Сначала разберем первое уравнение:

\( x - 5 = \frac{1}{2}(y + 5) \)

Раскроем скобки:

\( x - 5 = \frac{1}{2}y + \frac{1}{2} \cdot 5 \)

Сократим дроби:

\( x - 5 = \frac{1}{2}y + \frac{5}{2} \)

Теперь разберем второе уравнение:

\( x + 5 = \frac{1}{3}(y - 5) \)

Раскроем скобки:

\( x + 5 = \frac{1}{3}y - \frac{1}{3} \cdot 5 \)

Сократим дроби:

\( x + 5 = \frac{1}{3}y - \frac{5}{3} \)

Теперь у нас есть система уравнений:

\[
\begin{cases}
x - 5 = \frac{1}{2}y + \frac{5}{2} \\
x + 5 = \frac{1}{3}y - \frac{5}{3}
\end{cases}
\]

Давайте решим систему с помощью метода подстановки.

Из первого уравнения найдем выражение для \( x \) через \( y \):

\( x = \frac{1}{2}y + \frac{5}{2} + 5 \)

\( x = \frac{1}{2}y + \frac{15}{2} \)

Теперь подставим это выражение для \( x \) во второе уравнение:

\( \frac{1}{2}y + \frac{15}{2} + 5 + 5 = \frac{1}{3}y - \frac{5}{3} \)

Упростим и сократим дроби:

\( \frac{1}{2}y + \frac{25}{2} = \frac{1}{3}y - \frac{5}{3} \)

Умножим все члены уравнения на 6, чтобы избавиться от дробей:

\( 3y + 75 = 2y - 10 \)

Вычтем \( 2y \) из обеих частей уравнения:

\( y + 75 = -10 \)

Вычтем 75 из обеих частей уравнения:

\[ y = -85 \]

Подставим найденное значение \( y \) в первое уравнение, чтобы найти \( x \):

\( x - 5 = \frac{1}{2}(-85) + \frac{5}{2} \)

\( x - 5 = -\frac{85}{2} + \frac{5}{2} \)

Упростим:

\( x - 5 = -\frac{80}{2} \)

\( x - 5 = -40 \)

Прибавим 5 к обеим частям уравнения:

\( x = -40 + 5 \)

\( x = -35 \)

Таким образом, изначально в первом кармане было -35 рублей, а во втором кармане - 85 рублей.