Сколько школьников могло участвовать в товарищеском шахматном турнире, если каждый школьник сыграл не более одной

Заяц

10

Для начала рассмотрим условия задачи более подробно. У нас есть школьники, которые играли в шахматный турнир, и было проведено 18 партий. Нужно определить, сколько всего школьников могло участвовать в турнире, при условии, что каждый школьник сыграл не более одной партии как с каждым другим школьником, так и с гроссмейстером.

Представим, что всего было \(n\) школьников, участвующих в турнире. Каждый школьник может сыграть партию с каждым из остальных школьников (таких партий будет \(\binom{n}{2}\)) и еще одну партию с гроссмейстером. Итак, у каждого школьника будет общее количество партий равное \(\binom{n}{2} + 1\). Так как всего было сыграно 18 партий, то мы можем записать уравнение:

\[\binom{n}{2} + 1 = 18\]

Чтобы решить это уравнение, нам нужно раскрыть биномиальный коэффициент \(\binom{n}{2}\). Биномиальный коэффициент есть число сочетаний, которое можно вычислить по формуле:

\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

В нашем случае, нам нужно вычислить \(\binom{n}{2}\), поэтому подставим \(k = 2\) в формулу:

\[\binom{n}{2} = \frac{n!}{2!(n-2)!}\]

Далее, заменим \(\binom{n}{2}\) в уравнении на это выражение:

\[\frac{n!}{2!(n-2)!} + 1 = 18\]

Раскроем факториалы:

\[\frac{n(n-1)}{2} + 1 = 18\]

Упростим уравнение:

\[\frac{n^2 - n}{2} + 1 = 18\]

Перенесем все слагаемые на одну сторону:

\[\frac{n^2 - n}{2} = 18 - 1\]

\[\frac{n^2 - n}{2} = 17\]

Умножим обе стороны уравнения на 2:

\[n^2 - n = 34\]

\[n^2 - n - 34 = 0\]

Теперь мы имеем квадратное уравнение. Для его решения, воспользуемся формулой дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

Где \(a = 1\), \(b = -1\) и \(c = -34\). Подставим значения в формулу:

\[D = (-1)^2 - 4(1)(-34)\]
\[D = 1 + 136\]
\[D = 137\]

Так как значение дискриминанта D равно 137 и является положительным числом, у нас будет два корня квадратного уравнения. Используем формулу для нахождения корней:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{137}}{2(1)}\]
\[x = \frac{1 \pm \sqrt{137}}{2}\]

Таким образом, получаем два значения для \(n\):

\[n_1 = \frac{1 + \sqrt{137}}{2}\]
\[n_2 = \frac{1 - \sqrt{137}}{2}\]

Однако, по условию задачи мы ищем положительное количество школьников, поэтому рассматриваем только положительное значение \(n_1\):

\[n_1 = \frac{1 + \sqrt{137}}{2}\]

Таким образом, максимальное количество школьников, которые могли участвовать в товарищеском шахматном турнире при данных условиях - это около 7 школьников.