Сколько школьников может участвовать в шахматном турнире, если каждый из них сыграл с каждым другим не более одной

Пламенный_Демон

20

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать комбинаторику. Обозначим количество школьников как \(n\). Каждый школьник может сыграть с каждым другим школьником только одну партию, и с гроссмейстером тоже только одну партию. Мы также знаем, что всего было сыграно 42 партии.

Давайте начнем с разбора случая, когда гроссмейстер сыграл только с одним школьником. В этом случае, гроссмейстер провел 1 матч, что означает, что остальные 41 партия должны были быть между школьниками. Теперь нам нужно найти количество партий, которые могут сыграть школьники.

Известно, что каждый школьник может сыграть только одну партию с каждым из остальных школьников. Для этого нам понадобится использовать формулу для нахождения количества сочетаний без повторений. Формула для сочетаний без повторений выглядит следующим образом:

\[
C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}
\]

Где \(n\) - общее количество объектов, а \(k\) - количество объектов, которые мы выбираем.

В данном случае, нам нужно найти количество партий между школьниками, и по формуле сочетаний без повторений, количество партий будет равно:

\[
C(n, 2) = \frac{{n!}}{{2! \cdot (n-2)!}} = \frac{{n!}}{{2 \cdot (n-2)!}}
\]

Теперь нам нужно сложить количество партий между школьниками и количество партий с гроссмейстером, чтобы получить общее количество партий:

\[
\frac{{n!}}{{2 \cdot (n-2)!}} + 1 = 42
\]

Чтобы решить это уравнение, приведем его к квадратному виду:

\[
\frac{{n!}}{{(n-2)!}} + 2 = 84
\]

\[
\frac{{n!}}{{(n-2)!}} = 82
\]

Теперь найдем все натуральные числа \(n\), которые удовлетворяют этому уравнению. Пробуем последовательно значения \(n\) от 2 и дальше, пока уравнение не будет выполнено.

При \(n = 4\) получаем:

\[
\frac{{4!}}{{(4-2)!}} = \frac{{4!}}{{2!}} = \frac{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{2 \cdot 1}} = 12
\]

При \(n = 5\) получаем:

\[
\frac{{5!}}{{(5-2)!}} = \frac{{5!}}{{3!}} = \frac{{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 20
\]

Таким образом, получаем, что возможные значения для \(n\) равны 4 и 5. Значит, в шахматном турнире может участвовать 4 или 5 школьников.

Надеюсь, данное подробное и пошаговое объяснение помогло понять решение задачи. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!